Meccanica Quantistica

Prendendo l’equazione aggiunta si ha
〈ω|A † = ω ∗ 〈ω| ⇒ 〈ω|A † |ω〉 = ω ∗ 〈ω|ω〉 (4.173)
Ma dato che A = A † sottraendo queste due equazioni segue
(ω − ω ∗ )〈ω|ω〉 = 0 ⇒ ω = ω ∗
(4.174)
Gli operatori hermitiani soddisfano ad un teorema che assicura l’esistenza degli
autovettori. Precisamente
Teorema: Per ogni operatore hermitiano esiste almeno una base di autovettori
ortogonali. In questa base l’operatore è diagonale (cioè tutti gli elementi di matrice
fuori della diagonale principale sono nulli) ed i suoi autovalori sono gli elementi di
matrice diagonali.
Per dimostrare questo teorema consideriamo uno degli n autovalori dell’operatore
hermitiano A, diciamo ω1. In corrispondenza avremo un autovettore non nullo |ω1〉 6 .
Consideriamo poi lo spazio V n−1
⊥1 dei vettori perpendicolari a |ω1〉 e scegliamo una
base costituita da |ω1〉 e da (n − 1) vettori ortonormali in V n−1
⊥1 . In questa base si
ha
⎛ ⎞
1
⎜
⎜0
⎟
|ω1〉 ⇔ ⎜
⎜·
⎟
(4.175)
⎝·
⎠
0
e quindi
Ai1 = 〈i|A|ω1〉 = ω1〈i|ω1〉 = ω1δi1
e dato che A è hermitiano segue anche che
A1i = A ∗ i1 = ω1δi1
(4.177)
Pertanto la forma matriciale di A sarà
⎛
ω1
⎜ 0
⎜
Aij = ⎜ ·
⎜ ·
⎝
0 ·
A
· 0
(n−1)
·
0
⎞
⎟
⎠
Adesso l’equazione caratteristica diviene
(4.176)
(4.178)
(ω1 − ω)det|A (n−1) − ωI (n−1) | = 0 ⇒ (ω1 − ω)P (n−1) (ω) = 0 (4.179)
6 Notiamo che se cosí non fosse, A − ωI sarebbe invertibile. Questo grazie ad un teorema sulle
matrici che dice che se B|v〉 = 0 implica |v〉 = 0 allora B è invertibile
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