Meccanica Quantistica

In questo caso la distribuzione misurata a x1 = x2 = x sarà
n1
N
· 0 + n2
N
· 0 + n3
N PD = n3
N PD < PD
(10.125)
Quindi, la contaminazione dovuta al fatto che elettroni con spin diverso sono da
considerarsi distinguibili porta a una distribuzione inferiore a quella per due particelle
distinguibili. La conclusione sarebbe che si hanno fermioni identici ma con
contaminazione di coppie non identiche e questo ci permetterebbe di concludere che
esiste un numero quantico nascosto (lo spin).
Tutto questo si generalizza facilmente al caso di più particelle con il risultato
che esistono solo due classi di particelle, quelle con funzione d’onda completamente
simmetrica (bosoni) e quelle con funzioni d’onda completamente antisimmetrica
(fermioni). La funzione d’onda per i fermioni si esprime facilmente in termini del
determinante di Slater. Per esempio per tre fermioni in tre stati quantici n1, n2, n3
la funzione d’onda correttamente normalizzata è
ψn1,n2,n3(x1, x2, x3) = 1
ψn1(x1)
ψn2(x1) ψn3(x1)
√
3!
ψn1(x2)
ψn2(x2) ψn3(x2)
(10.126)
ψn1(x3)
ψn2(x3) ψn3(x3)
Si può anche verificare che nel caso di N > 2
VS ⊕ VA ⊂ V1 ⊗ V2 ⊗ · · · ⊗ VN
(10.127)
10.7 Quando si può ignorare la simmetrizzazione
o l’antisimmetrizzazione della funzione d’onda?
Considerando due particelle identiche molto ben separate spazialmente ci aspetteremmo
anche nel caso quantistico di poterle pensare come particelle distinte e quindi
di poter ignorare la simmetrizzazione o l’antisimmetrizzazione della funzione d’onda.
Per esemplificare consideriamo due particelle identiche entrambe descritte da
un pacchetto gaussiano, uno centrato sulla terra, ψT(xT), e l’altro centrato sulla
luna, ψL(xL). Se le due particelle fossero distinguibili, e l’hamiltoniana che descrive
il sistema non contiene interazioni tra queste particelle, la loro funzione d’onda
sarebbe
ψ(xL, xT) = ψT(xT)ψL(xL) (10.128)
e le probabilità di osservare la prima particella sulla terra e la seconda sulla luna
sarebbero rispettivamente
P(xT) = dxL|ψ(xL, xT)| 2 = |ψT(xT)| 2
dxL|ψL(xL)| 2 = |ψT(xT)| 2
(10.129)
218