Meccanica Quantistica

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Per i = j si ha Per i = j |ui| 2 = 1 (4.207) 〈uj|ui〉 = 0 (4.208) e quindi seguono entrambi i teoremi. Nel caso degenere può essere seguita la dimostrazione del caso di un operatore hermitiano. L’unica differenza è nella dimostrazione relativa agli zeri della prima riga, che adesso segue dalla condizione di unitarietà. Infatti si ha U † U = I ⇒ j (U † )1jUj1 = |U1j| 2 = 1 (4.209) Ma dato che, selezionando il primo autovalore come per il caso di operatori hermitiani |U11| 2 = 1 (4.210) si ha necessariamente j U1j = 0, j = 1 (4.211) 4.9.2 Diagonalizzazione di una matrice hermitiana Abbiamo dimostrato che data la matrice di un operatore hermitiano in V n (C) in una base ortonormale, esiste una base ortonormale di autovettori che sono connessi alla base iniziale da una trasformazione unitaria. Il motivo è che le trasformazioni unitarie lasciano invariato il prodotto scalare. Infatti supponiamo che si passi dalla base ortonormale iniziale |i〉 alla base degli autostati |ωi〉 con una trasformazione U Segue |ωi〉 = U|i〉 (4.212) 〈j|U † = 〈ωj| ⇒ 〈j|U † U|i〉 = 〈ωj|ωi〉 = δij (4.213) Pertanto U deve essere unitario. Parlando in termini di trasformazioni passive quanto sopra si enuncia dicendo che dato un operatore hermitiano A, esiste una matrice unitaria U tale che U † AU = AD con AD diagonale. Questa equazione implica AU = UAD vale a dire AijUjk = Uij(AD)jk = j j 81 j Uijωjδjk = ωkUik (4.214) (4.215) (4.216)
Se definiamo n vettori V (k) con componenti l’equazione precedente si riscrive nella forma Aijv (k) (k) j = ωkv i j v (k) i = Uik (4.217) (4.218) Pertanto questi vettori non sono altro che gli autovettori calcolati nella base originaria ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ e v (k) 1 ⎜ · |ωk〉 ⇔ ⎜ · ⎝ · v (k) ⎟ ⎠ n = ⎜ ⎝ U1k · · · Unk ⎟ ⎠ (4.219) A|ωk〉 = ωk|ωk〉 (4.220) Vediamo anche che le colonne della matrice U costituiscono gli autovettori di A. Una rappresentazione astratta di questa affermazione è contenuta nella rappresentazione per l’operatore U come U = |ωi〉〈i| (4.221) i che può essere verificata immediatamente. Quanto sopra mostra l’equivalenza tra la diagonalizzazione di un operatore e il problema agli autovalori. Esercizio 1): Dato Verificare che: 1) A è hermitiano. ⎛ ⎞ 0 0 1 A = ⎝0 0 0⎠ (4.222) 1 0 0 2) Dimostrare che gli autovalori sono 0, ±1 e che gli autovettori corrispondenti hanno l’espressione |ω = 1〉 ⇔ 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 √ ⎝0⎠ , |ω = 0〉 ⇔ ⎝1⎠, |ω = −1〉 ⇔ 2 1 0 1 ⎛ ⎞ 1 √ ⎝ 0 ⎠ (4.223) 2 −1 3) Verificare che costruendo la matrice U con colonne gli autovettori di A, l’espressione U † AU è diagonale e che U è unitaria. 82
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Ci sono alcuni punti importanti da
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Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
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A questo fine si introducono due op
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e scegliendo cn reale e Applicando
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con A determinata dalla normalizzaz
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Capitolo 9 Il principio di indeterm
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vale a dire che integrata dà dψ(x
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Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
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I coefficienti dell’espansione di
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Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
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10.3 Più particelle in più dimens
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sono identiche. D’altra parte, in
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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Questo implica che se a t = 0 il si
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Gli autovettori di Π con autovalor
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Inoltre se il sistema è invariante
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da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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