Meccanica Quantistica

corrisponde dunque ad uno spostamento x1 per la prima massa e x2 per la seconda
massa. Questa base ha un chiaro significato fisico ma porta a equazioni del
moto accoppiate. Chiaramente il modo per disaccoppiare le equazioni è quello di
diagonalizzare Ω. Consideriamone allora il polinomio caratteristico
−2
PΩ(ω) = det
k k
− ω
m m
k
−2
m
k
= ω
− ω
m 2 + 4 k k
ω + 3
m m
che dà luogo agli autovalori
ω = − k k
, −3
m m
Introducendo
k
ωI =
m , ωII
= 3 k
m
gli autovalori di Ω sono dati da
ω = −ω 2 I, −ω 2 II
(4.309)
(4.310)
(4.311)
(4.312)
I corrispondenti autovettori si ottengono risolvendo l’equazione agli autovalori. Per
ω = −ω2 I si ha ⎛
⎜−
⎜
⎝
k
m
k
m
⎞
k
m ⎟
⎟ x1
⎟ =
k ⎠ x2
−
m
k
Quindi
−x1 + x2
m x1 − x2
(4.313)
(4.314)
e l’autovettore è dato da
x1 = x2
|ω = −ω 2 1
I 〉 ≡ |I〉 = √
2
1
1
Analogamente per l’autovalore ω = −ω2 II si ha
⎛ ⎞
k k
⎜
⎜m
m⎟
⎟ x1
⎜ ⎟ =
⎝ k k ⎠ x2
m m
k
x1 + x2
m x1 + x2
da cui
e
x1 = −x2
|ω = −ω 2
1 1
II 〉 ≡ |II〉 = √
2 −1
93
(4.315)
(4.316)
(4.317)
(4.318)