Meccanica Quantistica

questo spazio di Hilbert è definito in termini delle funzioni continue che si annullano
agli estremi dell’intervallo [0, L]. Possiamo identificare l’operatore ∂ 2 /∂x 2 con
−K 2 . Dato che K è hermitiano in questo spazio, altrettanto sarà il suo quadrato.
L’equazione delle onde diviene dunque
| ¨ ψ(t)〉 = −K 2 |ψ(t)〉 (4.478)
Come abbiamo già visto nel caso finito dimensionale, per risolvere il problema dovremo
effettuare i seguenti tre passi:
i) - Risolvere il problema agli autovalori per −K 2
ii) - Costruire il propagatore U(t) in termini degli autovalori e autovettori di K
iii) - La soluzione del problema è allora
|ψ(t)〉 = U(t)|ψ(0)〉 (4.479)
Iniziamo dal primo punto. Dobbiamo trovare le soluzioni a
nella base |x〉
Le soluzioni sono del tipo
Da
segue
Se vogliamo una soluzione non banale si deve avere 14
K 2 |ψ〉 = k 2 |ψ〉 (4.480)
− d2
dx 2ψk(x) = k 2 ψk(x) (4.481)
ψk(x) = A coskx + B sin kx (4.482)
ψk(0) = ψk(L) = 0 (4.483)
0 = A, 0 = B sin kL (4.484)
kL = mπ, m = 1, 2, 3, · · · (4.485)
Pertanto
mπ
ψm(x) = B sin
L x
(4.486)
In questo caso gli autovettori formano un set discreto, dato che gli autovalori sono
descritti dall’intero m. Possiamo determinare B dalla normalizzazione (passiamo
dalla variabile di integrazione x a y = xπ/L)
L
0
ψ ∗ m (x)ψm ′(x)dx = δmm ′ (4.487)
14 Notiamo che m < 0 non dà soluzioni linearmente indipendenti poiché sinkx = − sin(−kx)
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