Meccanica Quantistica

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Capitolo 2 Introduzione storica alla meccanica quantistica Il modo in cui la meccanica quantistica è nata ben esemplifica come le scienze fisiche si evolvono. All’inizio del 900 quando ormai, dopo le equazioni di Maxwell, la fisica sembrava una scienza completamente sistematizzata, una serie di fatti sperimentali mise in crisi questo edificio. Senza parlare dei problemi connessi con la teoria della relatività ricordiamo qui i seguenti fenomeni in totale disaccordo con quanto aspettato dalla descrizione classica: • Spettro del corpo nero • Calori specifici a bassa temperatura • Stabilità degli atomi • Dualismo onda-corpuscolo (effetto fotoelettrico, scattering Compton, ecc.) In aggiunta a ciò esisteva tutta un’altra serie di fenomeni del mondo atomico che la fisica classica non era assolutamente in grado di spiegare quali: • Spettri atomici • Legami chimici • Forze molecolari • Periodicità della tavola di Mendeleiev Lo scopo di questa introduzione è di illustrare brevemente quali siano state le difficoltà della fisica classica e le idee fondamentali che hanno permesso di arrivare alla formulazione della meccanica quantistica. 5
2.1 Il corpo nero Lo studio dell’irraggiamento termico del corpo nero è di importanza storica fondamentale, in quanto è stato l’ambito nel quale Planck ha introdotto l’idea della quantizzazione e dove è stata introdotta la costante caratteristica dell meccanica quantistica, la costante di Planck. Consideriamo dei corpi alla temperatura T in ds Figura 2.1: La cavità discussa nel testo una cavità vuota, come in Fig. 2.1. Sia i corpi che le pareti della cavità emetteranno energia elettromagnetica (e.m.). Il problema che ci si pone è quello di calcolare la densità di energia presente nella cavità ad una assegnata frequenza ν ed una data temperatura T. Un elemento di superficie ds di uno qualunque dei corpi o della cavità emetterà nella banda compresa tra ν e ν + dν, nel tempo dt e nell’angolo solido dΩ una quantità di energia che potremo scrivere nella forma EνdνdsdtdΩ (2.1) Eν è chiamato potere emissivo specifico. Sull’elemento ds potrà inoltre arrivare un’energia dw sempre nella banda ν e ν + dν, nel tempo dt e nell’angolo solido dΩ. Di questa energia la superficie sarà in grado di assorbirne una frazione (vedi Fig. 2.2) Aνdw (2.2) dove Aν è detto potere assorbente specifico. Anche l’energia dw potrà essere scritta in forma analoga alla (2.1) dw = uνdνdsdtdΩ (2.3) Kirchoff ha mostrato per via termodinamica che, all’equilibrio, la quantità uν è una funzione universale di ν e T. In particolare risulta indipendente dal punto considerato nella cavità e dall’orientazione della superficie. Poiché uν caratterizza la radiazione nella cavità, possiamo dire che la radiazione deve essere isotropa e non 6
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Ci sono alcuni punti importanti da
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Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
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A questo fine si introducono due op
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e scegliendo cn reale e Applicando
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con A determinata dalla normalizzaz
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Capitolo 9 Il principio di indeterm
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vale a dire che integrata dà dψ(x
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Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
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Vediamo dunque che per spazi vettor
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I coefficienti dell’espansione di
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Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
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10.3 Più particelle in più dimens
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sono identiche. D’altra parte, in
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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Questo implica che se a t = 0 il si
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Gli autovettori di Π con autovalor
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Inoltre se il sistema è invariante
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con analoga condizione di positivit
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da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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