Meccanica Quantistica

dove con il simbolo ||.|| intendiamo la norma quadrata di un vettore. Notiamo che
la probabilità di ottenere questo stato è data da
||PL2 z =1|ψ〉|| = 1 1
+
4 2
= 3
4
(5.84)
Se dopo aver misurato L 2 z misuriamo Lz troveremo +1 con probabilità 1/3 e −1 con
probabilità 2/3.
6) - Il sistema si trova in uno stato per il quale
P(Lz = +1) = 1
4 , P(Lz = 0) = 1
2 , P(Lz = −1) = 1
4
Quale è lo stato più generale con questa proprietà? Chiaramente avremo
con
da cui
(5.85)
|ψ〉 = α|Lz = +1〉 + β|Lz = 0〉 + γ|Lz = −1〉 (5.86)
|α| 2 = 1
4 , |β|2 = 1
2 , |γ|2 = 1
4
(5.87)
|ψ〉 = 1
2 eiδ1 |Lz = +1〉 + 1 √ 2 e iδ2 |Lz = 0〉 + 1
2 eiδ3 |Lz = −1〉 (5.88)
Se per esempio calcoliamo la probabilità di trovare Lx = 0 in questo stato avremo
P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ〉| 2 = 1
4 (1 − cos(δ3 − δ1) (5.89)
Quindi questa probabilità dipende solo dalla differenza delle fasi δ3 e δ1. Infatti
possiamo sempre fattorizzare una fase nel nostro stato, per esempio δ1, ottenendo
|ψ〉 = e iδ1
1
2 |Lz = +1〉 + 1 √ e
2 i(δ2−δ1)
|Lz = 0〉 + 1
2 ei(δ3−δ1)
|Lz = −1〉 (5.90)
D’altra parte, come discusso in precedenza, possiamo identificare |ψ〉 con e −iδ1 |ψ〉 e
quindi la fisica dipende solo da due differenze di fase. Notiamo anche che nel caso
particolare δ1 = δ2 = δ3 si ha
⎛
|ψ〉 ⇔ ⎝
mentre con δ2 − δ1 = π e δ3 − δ1 = 0
⎛
|ψ〉 ⇔ ⎝
1
2
√1 2
1
2
⎞
1
2
− 1
√
2
1
2
⎠ ⇔ |Lx = +1〉 (5.91)
⎞
⎠ ⇔ |Lx = −1〉 (5.92)
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