Meccanica Quantistica

Questo concetto si può estendere al caso in cui H1 cambi in modo definito un numero
quantico (vedremo in seguito le applicazioni nel caso del momento angolare).
Consideriamo, per esempio, la parità e assumiamo
allora
H1 = λX (14.51)
Π † H1Π = −H1
(14.52)
Pertanto H1 cambia la parità di uno stato e i suoi elementi di matrice tra stati della
stessa parità sono nulli.
14.2 Teoria delle perturbazioni nel caso degenere
Nel caso degenere la condizione (14.25) non può essere soddisfatta e la teoria perturbativa
così come formulata precedentemente non è valida. Se l’autovalore E 0 n sul
quale si costruisce la teoria perturbativa è degenere, il corrispondente autostato sarà
indicato con
H0|n 0 , α〉 = E 0 n|n 0 , α〉, α = 1, 2, · · · , k (14.53)
dove l’indice α numera la degenerazione. Ovviamente avremo al più k autofunzioni
di H = H0 + H1, diciamo |n, α〉, tali che
lim |n, α〉 = aαβ|n
H1→0 0 , β〉 (14.54)
Pertanto nel limite non si seleziona un singolo autostato di H0 ma una generica
combinazione appartenente all’autospazio corrispondente all’autovalore E 0 n. Supponiamo
che la degenerazione venga almeno parzialmente rimossa da H1. Vedremo
che questo succede se
〈n 0 , α|H1|n 0 , β〉 = 0 (14.55)
Consideriamo allora la seguente identità
β
〈n 0 , α|H1|n, β〉 = 〈n 0 , α|(H − H0)|n, β〉 = (Enβ − E 0 n )〈n0 , α|n, β〉 (14.56)
e consideriamo questa equazione al primo ordine perturbativo. Allora potremo scrivere
(qui indicheremo con E1 n l’autovalore di H al primo ordine perturbativo, non
lo shift dell’energia come nella Sezione precedente)
〈n 0 , α|H1|n 0 , β〉aγβ = (E 1 n − E0
n ) 〈n 0 , α|n 0 , β〉aγβ (14.57)
β
Quindi
〈n 0 , α|H1|n 0 , β〉aγβ = (E 1 n − E0 n )aγα
β
279
β
(14.58)