Meccanica Quantistica

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e quindi Pertanto X(t) = In modo analogo a(t) = a(0)e −iωt , a † (t) = a † (0)e +iωt h/ 2mω (a(t) + a† h/ (t)) = 2mω (a(0)e−iωt + a † (0)e +iωt ) = (8.146) = X(0) cosωt + 1 P(0) sinωt (8.147) mω P(t) = P(0) cosωt − mωX(0) sinωt (8.148) In accordo con il teorema di Ehrenfest (potenziale quadratico) le variabili X e P si evolvono come nel caso classico. 197
Capitolo 9 Il principio di indeterminazione Abbiamo fin qui mostrato varie situazioni in cui il principio di indeterminazione esplica i suoi effetti. Passiamo adesso a una dimostrazione formale. Infatti questo principio, sebbene sia uno dei capisaldi fisici su cui si regge la meccanica quantistica, dal punto di vista della formulazione in termini dei postulati risulta una semplice conseguenza del formalismo. Abbiamo già mostrato che due osservabili che non commutano sono incompatibili, cioè non è possibile definire un processo di misura tale da misurare simultaneamente queste osservabili. Questo fatto, che è appunto la base del principio di indeterminazione, può essere espresso in modo più quantitativo in termini delle indeterminazioni sulle osservabili in esame. Consideriamo allora due osservabili hermitiane, A e B, tali che [A, B] = iC (9.1) con C una terza variabile hermitiana. Supponiamo che il sistema si trovi in un dato stato |ψ〉 e definiamo nuove osservabili sottraendo il valore di aspettazione delle precedenti Â = A − 〈A〉, ˆ B = B − 〈B〉 (9.2) Avremo (∆A) 2 (∆B) 2 = 〈ψ| Â2 |ψ〉〈ψ| ˆ B 2 |ψ〉 = 〈 Âψ|Âψ〉〈 ˆ Bψ| ˆ Bψ〉 (9.3) Facendo uso della disuguaglianza di Schwarz (vedi Sezione 4.2) |v1| 2 |v2| 2 ≥ |〈v1|v2〉| 2 dove il segno di uguaglianza vale solo per vettori paralleli, segue dove (∆A) 2 (∆B) 2 ≥ |〈 Âψ| ˆ Bψ〉| 2 = |〈ψ| Â ˆ B|ψ〉| 2 = 〈ψ| 1 2 [Â, ˆ B]+ + 1 2 [Â, ˆ B] (9.4) 2 |ψ〉 (9.5) [A, B]+ = AB + BA (9.6) 198
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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