Meccanica Quantistica

4.9.1 Il caso degenere
Per capire come si affronti praticamente il caso degenere consideriamo un esempio
specifico:
Esempio:
Segue
⎛ ⎞
1 0 1
A ⇔ ⎝0
2 0⎠
(4.187)
1 0 1
⎛
1 − ω 0 1
⎞
det|A − ωI| = ⎝ 0 2 − ω 0 ⎠ = −ω(ω − 2)
1 0 1 − ω
2
Pertanto, il polinomio caratteristico
ha una radice doppia ed una semplice
P(ω) = −ω(ω − 2) 2
(4.188)
(4.189)
ω1 = 0, ω2 = ω3 = 2 (4.190)
Nel caso della prima radice l’equazione agli autovalori dà
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 0 1 v1 v1 + v3
⎝0
2 0⎠
⎝v2⎠
= ⎝ 2v2 ⎠ = 0 (4.191)
1 0 1
Da cui
e normalizzando
Nel caso ω2 = ω3 = 2 si ha
v3
⎛
−1 0
⎞⎛
1
⎝ 0 0 0 ⎠⎝
1 0 −1
Quindi si trova l’unica equazione
v1 + v3
v2 = 0, v1 = −v3 (4.192)
|ω1〉 = 1
⎛ ⎞
1
√ ⎝ 0 ⎠ (4.193)
2
−1
v1
v2
v3
⎞ ⎛ ⎞
−v1 + v3
⎠ = ⎝ 0 ⎠ = 0 (4.194)
v1 = v3
v1 − v3
(4.195)
Infatti, come deve essere, ogni radice degenere elimina una equazione. Nel caso
dell’altro autovalore non degenere avevamo due equazioni per tre incognite, con la
terza incognita fissata dalla normalizzazione. In questo caso invece l’autovettore
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