Meccanica Quantistica

Un esempio un pò più complesso è quello di un operatore di rotazione di π/2 attorno
all’asse delle x in R3 (vedi Fig. 4.3). La sua azione sui singoli versori è:
π
Rx i = i
2
π
Rx j = k
2
π
Rx k = −j (4.77)
2
ed è evidentemente un operatore lineare, per es.
Rx
π
2
(j + k) = Rx
π
2
j + Rx
π
k = k − j (4.78)
2
Un operatore lineare è completamente noto una volta che ne sia data l’azione sui
vettori di base. Infatti se
A|i〉 = |i ′ 〉 (4.79)
l’azione su un generico vettore segue per linearità
A|v〉 = A
vi|i〉 =
vi|i ′ 〉 (4.80)
Nell’esempio precedente, un generico vettore in R 3 è dato da
i
i
v = v1i + v2j + v3k (4.81)
da cui
π
Rx v = v1i + v2k − v3j (4.82)
2
Si può definire un’algebra2 di operatori, introducendo il prodotto e la somma di
due operatori tramite le relazioni:
i) (A1A2)|v〉 = A1(A2|v〉)
ii) (A1 + A2)|v〉 = A1|v〉 + A2|v〉 (4.83)
nonché il prodotto di uno scalare per un operatore
iii) (αA)|v〉 = α(A|v〉) (4.84)
È importante osservare che il prodotto di due operatori in genere non è commutativo,
cioè
(4.85)
A1A2 = A2A1
Il grado di non commutatività è definito in termini di una quantità detta commutatore
[A1, A2] = A1A2 − A2A1
(4.86)
2 Un’algebra è uno spazio vettoriale, V , nel quale sia definito il prodotto di due vettori, come
un mapping bilineare V × V → V
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