Meccanica Quantistica

e quindi
Pertanto, da j ≈ ψ ∗ ∂ψ segue che si avrà
lim
r→∞ r3/2ψ = 0 (6.115)
lim
r→∞ r4j = 0 (6.116)
e l’integrale a secondo membro dell’equazione di continuità è nullo. Si riottiene così
la conservazione della probabilità totale.
Esercizio: Calcolare la relazione tra densità di probabilità e densità di corrente
di probabilità per un’onda piana tridimensionale
Dato che
segue
ψp =
· x
1
h/
(2πh/) 3/2eip
(6.117)
∇ψp = i p
h/ ψp
(6.118)
j(x, t) = ih/
−i
2m
p
h/ ψ∗ pψp − i p
h/ ψ∗
pψp = p
P(x, t) = vP(x, t) (6.119)
m
Vediamo che la relazione è analoga a quella dell’elettromagnetismo in cui j = vρ.
Esercizio: Calcolare la densità di corrente di probabilità per la seguente funzione
d’onda nel caso unidimensionale:
i
ψ(x) = Ae
px
−i
h/ + Be
px
h/ (6.120)
Svolgendo i calcoli si trova
j = p
m (|A|2 − |B| 2 ) (6.121)
Come si vede non ci sono termini di interferenza tra le due onde e quindi possiamo
associare le due componenti della densità di corrente con le due componenti di ψ
con l’ovvia interpretazione che una parte corrisponde a un’onda che si propaga con
velocità v e l’altra con velocità −v. In formule
j = vPA + (−v)PB, PA = |ψA| 2 , PB = |ψB| 2
ψ = ψA + ψB
165
(6.122)
(6.123)