Meccanica Quantistica

mentre le osservabili diventano dipendenti esplicitamente dal tempo:
Schrödinger : |ψ(t)〉S = U(t)|ψ(0)〉, ΩS (7.38)
Heisenberg : |ψ(t)〉S → U −1 (t)|ψ(t)〉S = |ψ(0)〉 ≡ |ψ〉H
ΩS → U(t) −1 ΩSU(t) ≡ ΩH(t) (7.39)
Ricordiamo che per hamiltoniane non dipendenti esplicitamente dal tempo U(t) =
exp(−iHt/h/). Notiamo che
S〈ψ(t)|ΩS|ψ(t)〉S = 〈ψ(0)|U −1 (t)ΩSU(t)|ψ(0)〉 = H〈ψ(0)|ΩH(t)|ψ(0)〉H
(7.40)
Calcoliamo adesso la variazione temporale di una variable dinamica in rappresentazione
di Heisenberg3 d
dt ΩH(t)
d
=
dt U −1
(t) ΩSU(t) + U −1 (t) ∂ΩS
∂t U(t) + U −1 dU(t)
(t)ΩS
dt =
= −U −1
1
(t)
ih/ HU(t)
U −1 (t)ΩSU(t) + U −1 1
(t)ΩS
ih/ HU(t) + U −1 (t) ∂ΩS
U(t) =
∂t
= = − 1
U(t) (7.41)
∂t
e infine
con
ih/ U −1 (t)[H, ΩS]U(t) + U −1 (t) ∂ΩS
dΩH(t)
dt
= − i
h/ [ΩH(t), HH] +
∂Ω
∂t H
(7.42)
HH = U −1 (t)HU(t) (7.43)
Ricordiamo che classicamente un’osservabile ha una evoluzione temporale data da
dω
dt
= {ω, H} + ∂ω
∂t
(7.44)
Questa relazione formale indusse Dirac a formulare delle parentesi di Poisson quantistiche
per due osservabili generiche v1 e v2 dalla regola:
{v1, v2}op = − i
h/ [v1, v2] (7.45)
e un principio di corrispondenza che asserisce che le parentesi di Poisson quantistiche
(e quindi i commutatori) si deducono tramite la regola
{v1, v2}op = {v1, v2}clas(x → X, p → P) (7.46)
3 Per questo calcolo usiamo la proprietà dA −1 /dλ = −A −1 dA/dλA −1 facilmente ricavabile
differenziando AA −1 = I. Inoltre facciamo uso di dU(t)/dt = HU(t)/ih/.
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