Meccanica Quantistica

Ponendo a zero i coefficienti di uguali potenze di λ si ha per il termine costante
e per gli altri termini
H0|n i 〉 + H1|n i−1 〉 =
H0|n 0 〉 = E 0 n |n0 〉 (14.11)
i
j=0
E i−j
n |nj 〉, i = 0 (14.12)
La prima equazione conferma che |n0 〉 è l’autostato imperturbato di H0. Ovviamente
questa identificazione è lecita solo nel caso non degenere, altrimenti |n0 〉 potrebbe
essere una arbitraria combinazione lineare degli autostati di H0 appartenenti
all’autovalore E0 n (vedi in seguito). Consideriamo il primo ordine nelle equazioni
precedenti
H0|n 1 〉 + H1|n 0 〉 = E 1 n |n0 〉 + E 0 n |n1 〉 (14.13)
Se moltiplichiamo entrambi i membri di questa equazione per 〈n 0 | si trova
da cui
〈n 0 |H0|n 1 〉 + 〈n 0 |H1|n 0 〉 = E 1 n + E0 n 〈n0 |n 1 〉 (14.14)
Se invece moltiplichiamo per 〈m 0 | con m = n si trova
da cui
E 1 n = 〈n 0 |H1|n 0 〉 (14.15)
〈m 0 |H0|n 1 〉 + 〈m 0 |H1|n 0 〉 = E 0 n 〈m0 |n 1 〉 (14.16)
〈m 0 |n 1 〉 = 〈m0 |H1|n0 〉
E0 n − E0 , m = n (14.17)
m
I coefficienti 〈m0 |n1 〉 ci permettono di calcolare l’effetto della perturbazione sulla
funzione d’onda. Infatti al primo ordine la correzione al vettore di stato si può
ottenere tramite la seguente espansione sugli stati imperturbati
|n 1 〉 =
|m 0 〉〈m 0 |n 1 〉 (14.18)
m
Ovviamente dobbiamo ancora calcolare il termine 〈n 0 |n 1 〉. D’altra parte se chiediamo
che al primo ordine lo stato perturbato sia normalizzato avremo
1 = (〈n 0 | + 〈n 1 |)(|n 0 〉 + |n 1 〉) ≈ 1 + 〈n 0 |n 1 〉 + 〈n 1 |n 0 〉 (14.19)
Questo implica che 〈n0 |n1 〉 = ia con a reale. Quindi nell’espansione al primo ordine
avremo
|n〉 = |n 0 〉 + |n 1 〉 = |n 0 〉(1 + ia) +
|m 0 〉〈m 0 |n 1 〉 (14.20)
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m=n