Meccanica Quantistica

Ma a causa del principio di indeterminazione questo non sarà mai rigorosamente
vero, dato che ∆X = 0. Nel caso in esame avremo comunque
d d
〈X〉 =
dt dt x0 = 1 p0
〈P 〉 =
m m
(7.25)
d d
〈P 〉 =
dt dt p0
∂V (X)
= −〈 〉 (7.26)
∂X
Da queste due equazioni si ricava l’analogo dell’equazione di Newton
m¨x0 = −〈
∂V (X)
〉 (7.27)
∂X
Cerchiamo di calcolare il secondo membro di questa espressione nella base delle
coordinate
〈 ∂V (X)
〉 = dxdx
∂X ′ ∂V (X)
〈x0, p0, ∆|x〉〈x|
∂X |x′ 〉〈x ′ |x0, p0, ∆〉 =
= dxψ ∗ (x)
x0,p0,∆ (x)∂V
∂x ψx0,p0,∆(x) (7.28)
Sviluppando nell’intorno di x0 e ricordando che la funzione d’onda ha un picco in
quell’intorno, avremo
∂V (x)
V (x) = V (x0)+(x−x0) +
∂x x0
1
2! (x−x0) 2∂2V (x)
∂x2
+
x0
1
3! (x−x0) 3∂3V (x)
∂x3
+· · ·
x0
(7.29)
Differenziando questa equazione e sostituendo nella precedente si ottiene
〈 ∂V (X)
〉 = dxψ
∂X ∗ (x)
x0,p0,∆ (x)∂V ψx0,p0,∆(x) +
∂x x0
+ dxψ ∗ x0,p0,∆ (x)1
2 (x − x0) 2∂3V (x)
∂x3
ψx0,p0,∆(x) + · · · (7.30)
x0
Notiamo che il terzo termine della (7.29) non contribuisce perché la sua derivata ha
media nulla. Dunque si ha
〈 ∂V (X)
∂V (x)
〉 =
∂X ∂x
= ∂V (x)
∂x
x0
x0
+ 1 ∂
2
3V (x)
∂x3
+ 1 ∂
2
3V (x)
∂x3
x0
x0
〈(X − x0) 2 〉 + · · · =
〈(X 2 − x 2 0)〉 + · · · (7.31)
E la forma finale per la generalizzazione quantistica dell’equazione di Newton diventa
m¨x0 = −
∂V (x)
∂x
x0
− 1
2
174
∂ 3 V (x)
∂x 3
x0
∆ 2 + · · · (7.32)