Meccanica Quantistica

i) - La teoria fa solo predizioni probabilistiche per i risultati di una misura.
Inoltre i soli possibili risultati della misura di una osservabile Ω sono i suoi
autovalori. Se l’osservabile corrisponde a un operatore hermitiano i risultati della
misura sono reali.
ii) - Dato che P(ωi) ∝ |〈ωi|ψ〉| 2 , |〈ωi|ψ〉| 2 è solo una probabilità relativa. Per avere
la probabilità assoluta occorre dividere per tutti i risultati possibili
P(ωi) =
|〈ωi|ψ〉| 2
Quindi se normalizziamo lo stato |ψ〉
si ha
j
|〈ωi|ψ〉| 2
2 |〈ωi|ψ〉|
= =
|〈ωj|ψ〉| 2 〈ψ|ωj〉〈ωj|ψ〉 〈ψ|ψ〉
|ψ ′ 〉 =
j
|ψ〉
[〈ψ|ψ〉] 1/2
P(ωi) = |〈ωi|ψ ′ 〉| 2
(5.5)
(5.6)
(5.7)
Questo risultato vale solo per stati normalizzabili. Il caso di vettori normalizzati
alla delta di Dirac verrà riesaminato in seguito. Ovviamente due stati paralleli |ψ〉
e α|ψ〉 danno luogo alla stessa distribuzione di probabilità. Pertanto a uno stato
fisico non è realmente associato un vettore nello spazio di Hilbert ma piuttosto una
direzione o un raggio. Quindi quando si parla di stato di una particella si intende
tipicamente uno stato normalizzato 〈ψ|ψ〉 = 1. Anche con questa ulteriore restrizione
lo stato |ψ〉 non è univocamente fissato dato che se |ψ〉 è normalizzato, anche
e iθ |ψ〉 lo è e dà la stessa distribuzione di probabilità di |ψ〉. A volte questa libertà
viene usata per scegliere le componenti di |ψ〉 reali in una data base.
iii) - Nel caso in cui lo stato |ψ〉 coincida con un autovettore, o autostato |ωi〉
dell’operatore Ω, il risultato della misura di Ω sarà certamente ωi.
iv) - Nel caso in cui lo stato |ψ〉 sia una sovrapposizione di due autostati di Ω:
avremo
|ψ〉 = α|ω1〉 + β|ω2〉
(α 2 + β 2 ) 1/2
P(ω1) = α2
α 2 + β 2, P(ω2) = β2
α 2 + β 2
(5.8)
(5.9)
Questo risultato va comparato con l’analisi fatta a suo tempo dell’esperimento di
polarizzazione della luce 1 .
1 Vedi il Capitolo 2
121