Meccanica Quantistica

Capitolo 10
Sistemi con N gradi di libertà
In questo capitolo considereremo con maggior dettaglio la struttura dello spazio di
Hilbert di un sistema con più gradi di libertà. Iniziamo dal caso più semplice di due
gradi di libertà. Questo è caratterizzato dalle regole di commutazione
[Xi, Pj] = ih/δijI, [Xi, Xj] = [Pi, Pj] = 0, i = 1, 2 (10.1)
Dunque potremo scegliere una base in cui gli operatori X1 e X2 sono simultaneamente
diagonali:
Xi|x1, x2〉 = xi|x1, x2〉, i = 1, 2 (10.2)
con normalizzazione
〈x ′ 1 , x′ 2 |x1, x2〉 = δ(x ′ 1 − x1)δ(x ′ 2 − x2) (10.3)
In questa base, il generico vettore di stato sarà rappresentato dalla funzione d’onda
|ψ〉 ⇔ ψ(x1, x2) = 〈x1, x2|ψ〉 (10.4)
Inoltre gli operatori Xi e Pi saranno rappresentati rispettivamente da
Xi ⇔ xi, Pi ⇔ −ih/ ∂
L’interpretazione delle funzione d’onda è ora che
∂xi
P(x1, x2)dx1dx2 = |ψ(x1, x2)| 2 dx1dx2
(10.5)
(10.6)
rappresenta la probabilità di trovare il grado di libertà 1 tra x1 e x1 +dx1 e il grado
di libertà 2 tra x2 e x2 + dx2, purché il vettore di stato sia normalizzato
〈ψ|ψ〉 = dx1dx2|〈x1, x2|ψ〉| 2
= dx1dx2|ψ(x1, x2)| 2 = 1 (10.7)
Con un leggero abuso di linguaggio chiameremo nel seguito i due gradi di libertà,
particella 1 e particella 2. Ovviamente la precedente non è la sola base possibile.
Altre basi possibili sono |p1, p2〉 o qualunque base del tipo |ω1, ω2〉, dove ω1 e ω2
sono gli autovalori di due operatori del tipo Ω1(X1, P1) e Ω2(X2, P2), che ovviamente
commutano tra loro. Lo spazio di Hilbert a due particelle che abbia una base del
tipo delle precedenti sarà denotato da V1⊗ 2.
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