Meccanica Quantistica

Notare che A non è né hermitiana né unitaria. Il polinomio caratteristico è
P(ω) = (ω − 3) 2
(4.233)
Quindi si hanno due autovalori degeneri. La corrispondente equazione agli autovalori
è
da cui
1 1 v1
= 0
−1 −1 v2
(4.234)
v1 + v2 = 0 (4.235)
Pertanto l’autovettore più generale risulta essere
|ω = 3〉 ⇔ 1
v1
=
2 2v −v1 1
1
1
√ (4.236)
2 −1
Come si vede non si hanno due autovettori ma solamente uno. Questo è appunto il
caso di una matrice non diagonalizzabile e che ha due autovalori e un solo autovettore.
Esercizio 4): Consideriamo la matrice
cosθ sin θ
U =
− sin θ cosθ
Verificare che questa matrice è unitaria
Il suo polinomio caratteristico è
e quindi gli autovalori risultano
I corrispondenti autovettori sono
(4.237)
U † U = I (4.238)
P(ω) = ω 2 − 2ω cosθ + 1 (4.239)
ω = cosθ ± i sin θ = e ±iθ
|ω = e ±iθ 〉 ⇔ 1
√ 2
1
±i
(4.240)
(4.241)
Quindi la matrice che diagonalizza U sarà (come si può verificare)
1 1 1
√ (4.242)
2 i −i
dato che la traccia ed il determinante sono invarianti sotto trasformazioni unitarie,
nel caso di operatori hermitiani ed unitari, che sono diagonalizzabili con
trasformazioni unitarie, si ha
det|A| = det|U † AU| = det|AD| =
(4.243)
Tr[A] = Tr[U † AU] = Tr[AD] =
84
i
i
ωi
ωi
(4.244)