Meccanica Quantistica

e usando
segue
e quindi
Si ha
〈j, m + 1|J+|j, m〉 = 〈j, m|J−|j, m + 1〉 = j(j + 1) − m(m + 1) (15.23)
e si verifica immediatamente che
J− = √ ⎛ ⎞
0 0 0
2⎝1
0 0⎠,
J+ =
0 1 0
√ ⎛ ⎞
0 1 0
2 ⎝0
0 1⎠
(15.24)
0 0 0
Jx = 1 ⎛ ⎞
0 1 0
√ ⎝1
0 1⎠
, Jy =
2
0 1 0
1
⎛ ⎞
0 −i 0
√ ⎝i
0 −i⎠
(15.25)
2
0 i 0
J 2 = 1 · 2 = 2 (15.26)
J 3 i = Ji, i = x, y, z (15.27)
In questo caso la funzione d’onda è data da
⎛ ⎞
ψ(r, +1)
ψ1(r) = ⎝ ψ(r, 0) ⎠ (15.28)
ψ(r, −1)
Conviene, per il seguito, introdurre coordinate cartesiane
ψ(r, +1) = − 1
√ 2 (Ax − iAy)
ψ(r, 0) = Az
ψ(r, −1) = + 1 √ 2 (Ax + iAy) (15.29)
Dunque, nel caso generale, si ha oltre al momento angolare orbitale un momento
angolare intrinseco o di spin. Pertanto quando si effettui una rotazione del sistema
di coordinate occorrerà considerare la trasformazione di entrambi. Usando ancora
variabili adimensionali, il momento angolare totale JT sarà dato da
Dato che
JT = L + S (15.30)
[ X, S] = 0 (15.31)
la base |r; j, m〉 si può identificare con il prodotto tensoriale della base delle coordinate
e della base di spin
|r; j, m〉 = |r〉 ⊗ |j, m〉 (15.32)
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