Meccanica Quantistica

+ iε
− iε
Figura 4.12: Il contorno nel piano complesso usato per calcolare l’integrale (4.410).
Consideriamo adesso la derivata della funzione delta. Come si vede dalla Figura
4.13 i due salti si comportano in sostanza come due funzioni delta, per cui
δ ′ (x − x ′ )f(x ′ )dx ′
≈ f x + ∆
√ − f x −
2
∆
√ ≈ f
2
′ (x) (4.412)
In maniera più rigorosa
d
dx δ(x − x′
) f(x ′ )dx ′ = d
dx
Inoltre
x
δ(x − x ′ )f(x ′ ) = df(x)
dx
(4.413)
δ ′ (x − x ′ ) = −δ ′ (x ′ − x) (4.414)
Possiamo anche ricavare una rappresentazione integrale della delta di Dirac tramite
la trasformata di Fourier 10 . Ricordiamo che la trasformata e l’antitrasformata
sono definite da:
Ponendo f(x) = δ(x) si ha
e quindi
f(k) = 1
√ 2π
f(x) = 1
√ 2π
f(k) = 1
√ 2π
δ(x) = 1
√ 2π
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
e −ikx f(x)dx (4.415)
e ikx f(k)dk (4.416)
e −ikx δ(x)dx = 1
√ 2π
e
ikx 1
√ dk =
2π 1
2π
+∞
−∞
(4.417)
e ikx dk (4.418)
10 In genere indicheremo la funzione e la sua trasformata di Fourier con lo stesso simbolo. La
distinzione si puo’ apprezzare dall’argomento della funzione, x o p.
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