Meccanica Quantistica

Gli stati corrispondenti risultano (a meno della normalizzazione)
α = +1, β = +γ, |a, b, S〉 = |a, b〉 + |b, a〉 (10.87)
α = −1, β = −γ, |a, b, A〉 = |a, b〉 − |b, a〉 (10.88)
Una data specie di particelle deve necessariamente adeguarsi a una e una sola di
queste due possibilità. Se così non fosse sarebbe possibile costruire un vettore del
tipo α|a, b, S〉+β|a, b, A〉 che però non ha proprietà di simmetria definita rispetto allo
scambio a ↔ b. Le particelle con vettori di stato simmetrici sono dette bosoni,
mentre le particelle con vettori di stato antisimmetrici sono dette fermioni.
Esempi di bosoni sono i fotoni, i gravitoni, i pioni. Esempi di fermioni sono gli
elettroni, i protoni, i neutroni, i quark.
È uno dei risultati più importanti della
teoria quantistica dei campi il Teorema spin-statistica che asserisce che i bosoni
hanno spin intero, mentre i fermioni hanno spin semintero (vedi in seguito per lo
spin).
Dunque se misuriamo le posizioni di due bosoni con risultati x1 = a e x2 = b,
dopo la misura lo stato del sistema sarà certamente
|ψ〉 = |a, b, S〉 = |a, b〉 + |b, a〉 (10.89)
Questo risultato vale per la misura di qualunque osservabile, se misuriamo Ω ottenendo
come risultati ω1 e ω2, il vettore di stato dopo la misura sarà |ω1, ω2, S〉 o
|ω1, ω2, A〉 a seconda che si abbiano due bosoni o due fermioni.
Notiamo che per due fermioni si ha
|ω, ω, A〉 = |ω, ω〉 − |ω, ω〉 = 0 (10.90)
La conseguenza di questo risultato è il Principio di esclusione che afferma che
due fermioni non possono trovarsi nello stesso stato quantico.
Tutto questo si generalizza al caso tridimensionale, ma ovviamente lo stato è ora
caratterizzato da più variabili. Per esempio potremo avere uno stato di particella
singola del tipo |ω, s〉 con ω che caratterizza i gradi di libertà orbitali e s lo spin. In
questo caso la funzione d’onda di due fermioni sarà
Questa è zero se
|ω1, s1; ω2, s2, A〉 = |ω1, s1; ω2, s2〉 − |ω2, s2; ω1, s1〉 (10.91)
ω1 = ω2 e s1 = s2 (10.92)
Pertanto due elettroni possono stare nello stesso stato orbitale, ω1 = ω2, purché gli
spin siano diversi, s1 = s2.
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