Meccanica Quantistica

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Nel caso particolare di vettori in R 3 questa equivale a: |〈vi|vj〉| 2 = |vi||vj| cosθij ≤ |vi||vj| ⇒ cosθij ≤ 1 (4.31) che è banalmente soddisfatta. La dimostrazione generale è semplice. Consideriamo il vettore v = vi − 〈vj|vi〉 vj |vj| 2 (4.32) ortogonale a vj (〈vj|v〉 = 0). Si ha Pertanto 0 ≤ 〈v|v〉 = 〈vi − 〈vj|vi〉 vj |vj| 2 |v〉 = 〈vi|v〉 = |vi| 2 − 〈vj|vi〉 〈vi|vj〉 |vj| 2 (4.33) |vi| 2 |vj| 2 − |〈vi|vj〉| 2 ≥ 0 (4.34) Dalla Eq. (4.33) segue che l’uguaglianza vale solo per v = 0, cioè quando vi ∝ vj ossia vi e vj sono paralleli. Un’altra importante disuguaglianza a cui soddisfa il prodotto interno è la disuguaglianza triangolare: |vi + vj| ≤ |vi| + |vj| (4.35) Il nome deriva dall’interpretazione geometrica illustrata in Fig. 4.2 per gli usuali vettori in R 3 . + v 1 v 1 v 2 Figura 4.2: La figura esemplifica la disuguaglianza triangolare, che per R 3 equivale all’affermazione che la somma di due lati di un triangolo è sempre maggiore del terzo lato. La dimostrazione è la seguente: |vi + vj| 2 = 〈vi + vj|vi + vj〉 = |vi| 2 + |vj| 2 + 2Re 〈vi|vj〉 (4.36) Se si considera un numero complesso z = a + ib segue che Pertanto v 2 a = Re z ≤ |z| = √ a 2 + b 2 (4.37) |vi +vj| 2 ≤ |vi| 2 + |vj| 2 +2|〈vi|vj〉| ≤ |vi| 2 + |vj| 2 +2|vi||vj| = (|vi|+|vj|) 2 (4.38) dove abbiamo fatto uso della disuguaglianza di Schwarz. Segue dunque la disuguaglianza (4.35). 57
4.3 La notazione di Dirac Dirac ha introdotto una notazione particolarmente felice per la descrizione di uno spazio vettoriale. Abbiamo già osservato che un vettore è completamente specificato assegnando le sue componenti rispetto a una base fissata. Per esempio, scegliendo una base ortonormale n v = (4.39) i=1 tutte le operazioni sui vettori si riportano ad operazioni sulle componenti vi. Pertanto esiste una corrispondenza biunivoca tra il vettore v e la n-upla delle sue componenti in una data base ⎛ ⎞ ⎜ v ⇔ ⎜ ⎝ eivi v1 v2 · · · vn ⎟ ⎠ (4.40) In questa base ortonormale il prodotto interno si può scrivere nella seguente forma: ⎛ ⎞ 〈v|v ′ 〉 = n i=1 v ∗ i v′ i = v ∗ 1 · · · v ∗ n ⎜ ⎜ ⎝ v ′ 1 · · · v ′ n ⎟ ⎠ (4.41) dove abbiamo associato al vettore v la n-upla v∗ 1 · · · v∗ n . Chiaramente un vettore può essere rappresentato da una riga o da una colonna. L’elemento decisivo che fissa la rappresentazione è la posizione in cui compare il vettore nel prodotto interno. Questo vale all’interno della rappresentazione considerata. Se però vogliamo introdurre un modo di esprimere in forma più astratta il prodotto interno tra due vettori, è conveniente introdurre la notazione di Dirac. In questa notazione si introducono due simboli distinti corrispondenti a queste due rappresentazioni. Precisamente si introducono i ket che corrispondono ai vettori colonna, cioè ⎛ ⎞ e i bra che corrispondono ai vettori riga: v1 ⎜ · ⎟ |v〉 ⇔ ⎜ · ⎟ ⎝ · ⎠ vn 〈v| ⇔ v ∗ 1 · · · v ∗ n 58 (4.42) (4.43)
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Ci sono alcuni punti importanti da
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Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
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A questo fine si introducono due op
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e scegliendo cn reale e Applicando
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con A determinata dalla normalizzaz
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Capitolo 9 Il principio di indeterm
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vale a dire che integrata dà dψ(x
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Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
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Vediamo dunque che per spazi vettor
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I coefficienti dell’espansione di
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Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
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10.3 Più particelle in più dimens
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sono identiche. D’altra parte, in
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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Questo implica che se a t = 0 il si
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Gli autovettori di Π con autovalor
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Inoltre se il sistema è invariante
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con analoga condizione di positivit
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da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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