Meccanica Quantistica

e inoltre
P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ〉| 2 = 1
2
P(Lx = −1) = |〈Lx = −1|ψ〉| 2 = 1
4
5) - Supponiamo che lo stato del sistema, nella base Lz, sia dato da
⎛
|ψ〉 ⇔ ⎝
1
2
1
2
1√
2
⎞
(5.76)
(5.77)
⎠ (5.78)
Supponiamo inoltre di misurare L2 z e di trovare il risultato +1, quale è lo stato del
sistema dopo la misura? L’operatore L2 z è dato da
L 2 ⎛ ⎞
1 0 0
z ⇔ ⎝0
0 0⎠
(5.79)
0 0 1
Quindi l’autovalore +1 di L2 z è doppiamente degenere. Una base nell’autospazio
corrispondente a L2 z = +1 è chiaramente
|L 2 ⎛ ⎞
1
z = +1, 1〉 = |Lz = +1〉 ⇔ ⎝0⎠
0
|L 2 z = +1, 2〉 = |Lz
⎛ ⎞
0
= −1〉 ⇔ ⎝0⎠
1
(5.80)
Il proiettore su questo autospazio è dato da
PL2 z =1 ⎛ ⎞
1
⇔ ⎝0⎠
0
1 0 0 ⎛ ⎞
0
+ ⎝0⎠
1
0 0 1 ⎛ ⎞
1 0 0
= ⎝0
0 0⎠
(5.81)
0 0 1
Pertanto
P L 2 z=1|ψ〉 ⇔
⎛ ⎞ ⎛
1 0 0
⎝0
0 0⎠
⎝
0 0 1
1
2
1
2
1√
2
⎞
Lo stato normalizzato sarà quindi
⎛
⎠ = ⎝
1
2
0 1
√ 2
⎞
PL 2 z =1|ψ〉
||P L 2 z=1|ψ〉|| 1/2 = 1 √ 3 |Lz = +1〉 +
⎠ ⇔ 1
2 |Lz = +1〉 + 1 √ 2 |Lz = −1〉 (5.82)
132
2
3 |Lz = −1〉 (5.83)