Meccanica Quantistica

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0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 Figura 8.3: Il confronto tra la probabilità classica e quantistica per l’oscillatore armonico. Nella figura sono riportati i due casi n = 10 (figura superiore) e n = 21 (figura inferiore). 8.2 L’oscillatore armonico nella base dei numeri di occupazione (o dell’energia) Esiste un modo molto semplice di risolvere l’equazione di Schrödinger stazionaria dovuto a Dirac. In sostanza il metodo consiste nel cercare una fattorizzazione dell’hamiltoniana H = 2 P 1 + 2m 2 mω2X 2 191 y y (8.96)
A questo fine si introducono due operatori non hermitiani mω 1 mω a = X + i P = X + 2h/ 2mωh/ 2h/ i mω P a † mω 1 mω = X − i P = X − 2h/ 2mωh/ 2h/ i mω P che in virtù delle regole di commutazione tra X e P soddisfano (8.97) [a, a † ] = 1 (8.98) Le relazioni inverse sono X = h/ 2mω (a + a† ), P = −i h/mω 2 (a − a† ) (8.99) Usando queste relazioni si trova subito H = h/ω 4 È conveniente introdurre l’operatore (a + a † ) 2 − (a − a † ) 2 = h/ω 2 (aa† + a † a) (8.100) N = a † a (8.101) in termini del quale, usando le regole di commutazione per a e a † si trova H = h/ω N + 1 2 L’operatore N soddisfa le regole di commutazione Pertanto si ha [N, a] = [a † a, a] = −a, [N, a † ] = [a † a, a † ] = +a † (8.102) (8.103) Na = a(N − 1), Na † = a † (N + 1) (8.104) Consideriamo adesso un autostato dell’operatore hermitiano N 3 , |ν〉 Mostriamo che ν ≥ 0. Infatti N|ν〉 = ν|ν〉 (8.105) 〈ν|a † a|ν〉 = |a|ν〉| 2 = 〈ν|N|ν〉 = ν〈ν|ν〉 = ν||ν〉| 2 (8.106) 3 Notiamo che diagonalizzare N è equivalente a diagonalizzare l’hamiltoniana, vista la relazione (8.102). 192
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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con analoga condizione di positivit
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da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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