Meccanica Quantistica

iemettondone una quantità trascurabile. Tramite un’analisi spettroscopica della
radiazione in uscita si determina Eν. La densità di energia e.m. nella cavità, ρν,
risulta proporzionale ad uν
ρν = 8π
(2.6)
Il principio di relatività e la termodinamica permettono di dimostrare che la densità
di energia, pur essendo una funzione di due variabili, ne dipende in modo
estremamente particolare (legge di Wien)
ρν = ν 3 F
c uν
ν
T
(2.7)
Cioè il rapporto ρν/T 3 dipende solo dal rapporto ν/T e non dalle due variabili
separatamente. La funzione F deve essere determinata usando le proprietà del
campo e.m. e vedremo in seguito come fare. Per il momento diciamo che il calcolo
classico dà come risultato la formula di Rayleigh e Jeans
ρν = 8πk
c3 ν2T = ν 3
8πk
c3
T
(2.8)
ν
dove k è la costante di Boltzmann
k = 1.381 × 10 −23 JK −1
(2.9)
Questa formula è in contrasto clamoroso con i dati sperimentali, eccetto per la
regione di piccole frequenze. Infatti se riportiamo in grafico i dati sperimentali per
ρν/T 3 in funzione di x = ν/T, si ottiene la curva in Fig. 2.4. Mentre i dati mostrano
che la funzione tende a zero per grandi valori di x la soluzione di Rayleigh e Jeans
(equazione (2.8)) diverge. In ogni caso la legge di Wien permette di dedurre una
certa quantità di informazioni generali sul corpo nero, senza necessità di determinare
la funzione F. Per esempio una semplice conseguenza è la legge dello spostamento
di Wien, che dice che la frequenza alla quale si ha la massima emittività aumenta
linearmente con la temperatura. Infatti il massimo in frequenza è determinato dalla
condizione
dρν
= 0 (2.10)
dν
cioè
d
ν
dν
3
ν
F = 0 (2.11)
T
o semplificando ed introducendo la variabile x = ν/T
3F(x) + xF ′ (x) = 0 (2.12)
Questa equazione fissa in maniera univoca la posizione del massimo in x, x = x0, e
quindi il massimo in frequenza sarà dato da
ν = x0T (2.13)
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