Meccanica Quantistica

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Capitolo 6 Problemi unidimensionali In questo capitolo considereremo una serie di semplici problemi unidimensionali. Sebbene questi problemi siano abbastanza artificiali essi contengono molte delle caratteristiche dei problemi tridimensionali. Inizieremo considerando il caso della particella libera. 6.1 La particella libera L’equazione di Schrödinger per la particella libera è ih/| ˙ ψ(t)〉 = H|ψ(t)〉 = Considerando uno stato stazionario del tipo si ottiene l’equazione indipendente dal tempo 2 P |ψ(t)〉 (6.1) 2m |ψ(t)〉 = |E〉e −iEt h/ (6.2) H|E〉 = 2 P |E〉 = E|E〉 (6.3) 2m Andando nella base degli impulsi si trova facilmente la soluzione: cioè p 2 p2 p2 〈p|E〉 = 2m 2m ψE(p) = EψE(p) (6.4) 2m Vediamo che si possono avere soluzioni solo se − E ψE(p) = 0 (6.5) E ≥ 0 (6.6) 149
e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbiamo dunque due soluzioni corrispondenti allo stesso autovalore E per l’energia (doppia degenerazione) ψ + E (p) = Aδ p − √ 2mE , ψ − E (p) = Bδ p + √ 2mE (6.8) Evidentemente 〈E, +|E, −〉 = dpψ +∗ E ψ− E (p) = 0 (6.9) Per determinare le costanti imponiamo la condizione di normalizzazione 〈E ′ , +|E, +〉 = dp|A| 2 δ p − √ 2mE ′ δ p − √ 2mE = = |A| 2 δ( √ 2mE ′ − √ 2mE) = |A| 2 E 2 2m δ(E − E′ ) = Pertanto Analogamente si trova 2 |p| = |A| m δ(E − E′ ) = |A| 2 |v|δ(E − E ′ ) (6.10) 1 A = |v| 1 B = A = |v| (6.11) (6.12) Notiamo che il risultato è equivalente a dire che le soluzioni sono gli autostati dell’impulso dati da |p = √ 2mE〉, |p = − √ 2mE〉 (6.13) In questo modo il problema della degenerazione viene eliminato, dato che assegnato p, E è univocamente determinato e gli stati con p ≷ 0 sono distinti. Si ha anche 〈p ′ |p = √ 2mE〉 = δ(p ′ − √ 2mE) (6.14) e quindi gli stati |p = ± √ 2mE〉 e |E, ±〉 differiscono solo per la normalizzazione. Vediamo come sono correlate le relazioni di completezza nei due casi. Per gli autostati di impulso di ha evidentemente |p〉〈p| = I (6.15) mentre per gli autostati dell’energia, tenendo conto della degenerazione dE|E, α〉〈E, α| = I (6.16) α=± 150
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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vale a dire che integrata dà dψ(x
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Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
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Vediamo dunque che per spazi vettor
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I coefficienti dell’espansione di
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Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
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10.3 Più particelle in più dimens
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sono identiche. D’altra parte, in
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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Questo implica che se a t = 0 il si
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Gli autovettori di Π con autovalor
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Inoltre se il sistema è invariante
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con analoga condizione di positivit
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da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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