Meccanica Quantistica

con probabilità uno e lo stato sarà ancora |x〉. Consideriamo adesso la misura della
posizione di una particella che si trovi in un autostato dell’impulso
|p〉 = |x〉〈x|p〉dx (5.47)
Ovviamente la misura cambierà lo stato del sistema proiettandolo in uno stato |x〉.
Pertanto anche una misura ideale può cambiare lo stato del sistema. Il punto è che
una misura è ideale solo in relazione a una data osservabile. Per esempio abbiamo
visto che per avere una misura ideale di impulso abbiamo bisogno di fotoni di
piccolo impulso, mentre per avere una misura ideale di posizione occorrono fotoni
di impulso molto elevato (infinito per una misura ideale). Per questo motivo la
misura di posizione cambia uno stato di impulso definito. Vediamo dunque che la
differenza fondamentale tra meccanica classica e meccanica quantistica è
che in meccanica classica si possono fare, per ogni variabile, delle misure
ideali che lasciano invariati tutti gli stati del sistema; invece, in meccanica
quantistica, una misura ideale dell’osservabile Ω lascia invariati solo i
suoi autostati.
Ripetendo ancora una volta, se come risultato della misura di Ω il risultato è
l’autovalore ω, allora l’effetto della misura è la proiezione
|ψ〉
=⇒
misura
Pω|ψ〉
〈Pωψ|Pωψ〉 1/2
(5.48)
dove Pω è il proiettore sull’autospazio Vω. Notiamo anche che, nel caso degenere,
se conosciamo lo stato del sistema prima della misura, lo conosceremo anche dopo.
Per esempio, supponiamo che in questo caso la decomposizione del vettore di stato
rispetto all’osservabile Ω che si desidera misurare, sia
|ψ〉 = 1 1
|ω, 1〉 + |ω, 2〉 + αi|ωi〉 (5.49)
2 2
ωi=ω
con l’autovalore ω doppiamente degenere. Supponiamo anche che il risultato della
misura sia proprio ω. Allora lo stato del sistema dopo la misura è certamente
|ψ〉
=⇒
misura
1
√ 2 (|ω, 1〉 + |ω, 2〉) (5.50)
Se invece lo stato non è noto, dopo la misura possiamo solo dire che lo stato
appartiene all’autospazio Vω e quindi
|ψ〉
=⇒
misura
α|ω, 1〉 + β|ω, 2〉
α 2 + β 2
127
(5.51)