Meccanica Quantistica

Inoltre l’energia e l’impulso dell’elettrone dopo la collisione devono soddisfare la
relazione
E 2 = m 2 c 4 + c 2 |p| 2
(2.59)
mentre per i fotoni si ha
| k| = ω
c , |k ′ | = ω′
c
la conservazione dell’energia e dell’impulso danno le condizioni
h/ω + mc 2 = h/ω ′ + E
(2.60)
h/ k = h/ k ′ + p (2.61)
Conviene riscrivere queste condizioni portando a primo membro le variabili relativi
ai fotoni ed a secondo membro quelle degli elettroni
h/ω − h/ω ′ = E − mc 2
h/ k − h/ k ′ = p (2.62)
Quadrando entrambe le equazioni, sottraendo la seconda (dopo averla moltiplicata
per c 2 ) dalla prima ed usando (2.59) e (2.60), si trova
−h/ 2 ωω ′ + c 2 h/ 2 k · k ′ = m 2 c 4 − Emc 2
(2.63)
Sfruttando ancora la conservazione dell’energia per esprimere E, e sviluppando il
prodotto scalare si ha
h/ωω ′ (1 − cosθ) = mc 2 (ω − ω ′ ) (2.64)
che può anche riscriversi nella forma
1 1
−
ω ′ ω
o in termini delle lunghezze d’onda λ = 2πc/ω
la quantità
h/
=
mc2(1 − cosθ) (2.65)
λ ′ − λ = 2π h/
(1 − cosθ) (2.66)
mc
λC = h/
mc = 3.862 × 10−13 m (2.67)
è detta la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone. Vediamo tra l’altro che l’introduzione
della costante di Planck permette di formare una ulteriore quantità con le
dimensioni di una lunghezza, partendo dalle costanti fondamentali. La relazione tra
le lunghezze d’onda cosi ricavata risulta in perfetto accordo con i dati sperimentali.
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