Meccanica Quantistica

Gli autovettori di Π con autovalori ±1 sono detti avere parità pari o dispari rispettivamente.
Quindi nella base delle coordinate
Nell’interpretazione passiva
autovettori pari : ψ(x) = ψ(−x)
autovettori dispari : ψ(x) = −ψ(−x) (11.69)
Π † XΠ = −X, Π † PΠ = −P (11.70)
Inoltre l’hamiltoniana è invariante per parità se commuta con Π, cioè
[Π, H] = 0 ⇒ Π † H(X, P)Π = H(−X, −P) = H(X, P) (11.71)
Dunque l’hamiltoniana e la parità si possono diagonalizzare simultaneamente. Nel
caso unidimensionale, dato che gli autovettori di H non sono degeneri, ogni autovettore
di H è autovettore anche della parità. Vedi per esempio, il caso della buca di
potenziale infinita discussa in Sezione 6.2.1 e l’oscillatore armonico visto in Sezione
8.1.
Notiamo infine che mentre tutte le interazioni conosciute sono invarianti per
traslazioni spaziali e temporali, lo stesso non è vero per le trasformazioni di parità.
Infatti le interazioni deboli, che tra le altre cose sono responsabili del decadimento
β nucleare non sono invarianti sotto parità.
11.5 Rotazioni in due dimensioni spaziali
Classicamente l’effetto di una rotazione nel piano è quello di trasformare le coordinate
secondo la legge
x ¯x cosφ − sin φ x
⇒ =
(11.72)
y ¯y sin φ cosφ y
Indichiamo questa rotazione con il simbolo R(φ). Richiederemo che i vettori di stato
si trasformino in accordo alla legge
U(R(φ)) : |ψ〉=⇒|ψR〉 = U(R(φ))|ψ〉 (11.73)
con i valori di aspettazione degli operatori di posizione sullo stato ruotato
〈X〉R = 〈X〉 cosφ − 〈Y 〉 sin φ
〈Y 〉R = 〈X〉 sinφ + 〈Y 〉 cosφ (11.74)
e analoghe per i valori di aspettazione dell’impulso. Procedendo come nel caso delle
traslazioni si vede che
U(R)|x, y〉 = |x cosφ − y sin φ, x sin φ + y cosφ〉 (11.75)
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