Meccanica Quantistica

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moto dei pianeti è ben descritto dalle stesse leggi. Questo fatto rafforza l’idea che questa descrizione si possa applicare ad oggetti di qualunque dimensione. Quindi fu naturale, nella seconda metà del secolo scorso, quando Maxwell, Boltzmann ed altri iniziarono a studiare le proprietà atomiche e molecolari, assumere che ancora le leggi di Newton e dell’ elettromagnetismo fornissero una buona descrizione dei fenomeni. Quindi un elettrone era pensato come un corpuscolo molto piccolo che si poteva in pratica descrivere come un punto materiale, assegnandone posizione e velocità ad ogni istante. I fatti hanno però dimostrato che questo non è il caso. La nostra conoscenza istintiva dei fenomeni fisici non sopravvive quando la si proietta nel mondo atomico. Il comportamento della materia a questa scala non ha un corrispondente nell’ambito delle sensazioni che ci sono familiari. Un esempio molto illustrativo è il seguente: esiste un modo per superare un albero che non sia quello di passargli a destra o a sinistra? La risposta classica è ovviamente NO. Se però parliamo di un elettrone, i fatti sperimentali dimostrano che la risposta è SI. Un elettrone può passare contemporaneamente da entrambe le parti, cosi come fa un raggio di luce, che viene diviso in due da un ostacolo. Questo fenomeno che suona come completamente assurdo alla nostra intuizione è stato verificato sperimentalmente in molti modi. Quindi non dovremmo avere pregiudizi troppo radicati quando si affrontano fenomeni su scale molto diverse da quelle abituali. È nelle considerazioni precedenti che sta la difficoltà del primo contatto con la meccanica quantistica. Quando le nostre conoscenze della fisica classica sono migliorate si sono potuti studiare sperimentalmente i fenomeni a livello atomico, cosa che era preclusa senza una adeguata conoscenza tecnico-scientifica. A questo punto si è trovato che le idee applicate fino a quel momento non erano più valide. Quindi i fisici si sono dovuti formare un nuovo mondo percettivo, adeguato a far diventare comuni anche quei fenomeni contrari a quello che, fino a quel momento, era ritenuto buon senso. Questo processo deve combattere con tutto il mondo delle percezioni che si è formato in noi sin dall’infanzia e quindi richiede del tempo. Una ulteriore difficoltà, ma di natura più tecnica e quindi più facilmente affrontabile, è che la meccanica quantistica richiede in genere un tipo di matematica diversa e più raffinata di quanto non sia richiesto a livello classico. Per concludere, ci sono due possibili modi di presentare la meccanica quantistica: 1) Metodo deduttivo. A seguito degli esperimenti effettuati e della loro interpretazione si è oggi arrivati a condensare la meccanica quantistica in alcuni assiomi. Questi assiomi sono il risultato di una serie di tentativi di spiegazione dei fenomeni, ed alla fine hanno preso un aspetto alquanto matematico ed impadronirsi del loro uso richiede una certa quantità di lavoro. 2) Metodo storico. Per questa via si segue lo sviluppo della meccanica quantistica dagli inizi ed in un certo modo si capisce perchè si arriva poi a formulare certi postulati. In realtà c’è comunque un salto logico a qualche livello. Tutto sembra più comprensibile semplicemente perché, ripercorrendo le varie fasi, ci si familiarizza con certi fenomeni che diventano quindi parte del nostro bagaglio di sensazione e ci danno la confidenza di capire. Nel primo metodo si devono accettare gli assiomi come atto di fede ed il mondo delle 3
nostre sensazioni viene arricchito dalle applicazioni degli assiomi alle varie situazioni fisiche. Una scelta netta è molto difficile perché la ricostruzione del cammino storico non è facile e come detto piena di salti logici dovuti ad intuizioni di alcuni fisici, non facilmente giustificabili. In questo corso faremo uso dell’approccio assiomatico. Questo sara’ preceduto da una serie di richiami di tipo matematico sugli spazi vettoriali, operatori lineari e relative estensioni al caso infinito-dimensionale. Vedremo infatti che la struttura matematica alla base della meccanica quantistica è quella di uno spazio vettoriale complesso con prodotto interno, cioè uno spazio di Hilbert. In ogni caso nel capitolo 2 verrà verranno presentati i principali risultati sia teorici che sperimentali che, a partire dal 1900, hanno portato alla genesi della meccanica quantistica. Inoltre, nel capitolo 3 faremo una discussione dettagliata dell’esperimento di interferenza di Young che, come vedremo, illustra i punti fisici principali della meccanica quantistica e che permette anche di capire l’origine della struttura matematica che sottostà alla meccanica quantistica stessa. 4
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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Nello spazio infinito-dimensionale
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segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
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Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
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Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
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Pertanto se A è diagonalizzabile a
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misura il sistema viene proiettato
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v) - Se vogliamo informazioni relat
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In questo caso adotteremo la prescr
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misurando, lo stato del sistema rim
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5.3 Come si verifica la teoria quan
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Esercizio: Dati i seguenti operator
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e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
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5.5 Variabili compatibili e incompa
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spazio con Λ avente un autovalore
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e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
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Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
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Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
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Nel caso di una particella di caric
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soddisfa l’equazione di Schrödin
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In questo caso si ha base |p〉 bas
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e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
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Osserviamo anche che nella base del
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Se calcoliamo la densità di probab
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Ci sono alcuni punti importanti da
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Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
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A questo fine si introducono due op
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e scegliendo cn reale e Applicando
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con A determinata dalla normalizzaz
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Capitolo 9 Il principio di indeterm
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vale a dire che integrata dà dψ(x
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Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
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Vediamo dunque che per spazi vettor
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I coefficienti dell’espansione di
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Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
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10.3 Più particelle in più dimens
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sono identiche. D’altra parte, in
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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Questo implica che se a t = 0 il si
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Gli autovettori di Π con autovalor
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Inoltre se il sistema è invariante
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con analoga condizione di positivit
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da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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