Meccanica Quantistica

Se si introducono la variabile del centro di massa e la variabile relativa
xCM = m1x1 + m2x2
m1 + m2
x = x1 − x2
si vede subito che gli impulsi canonici associati alle nuove variabili sono
pCM = p1 + p2
(10.65)
(10.66)
(10.67)
p = m2p1 − m1p2
(10.68)
m1 + m2
Dato che queste variabili sono canoniche e cartesiane la regola di quantizzazione1 è
[XCM, PCM] = ih/, [X, P] = ih/I (10.69)
con tutti gli altri commutatori nulli. L’hamiltoniana classica, nelle variabili del
centro di massa e relativa è semplicemente
con
H = p2 CM
2M
p2
+ + V (x) (10.70)
2µ
M = m1 + m2, µ = m1m2
m1 + m2
la massa totale e la massa ridotta. Quindi l’hamiltoniana quantistica è
H = P 2 CM
2M
(10.71)
2 P
+ + V (X) (10.72)
2µ
Come si vede l’hamiltoniana si separa in una parte libera del centro di massa più
una parte interagente in termini delle variabili relative. Quindi le autofunzioni
dell’energia si fattorizzano nella forma
ψE(xCM, x) =
1
(2πh/) 1/2e
i pCMxCM
h/ ψErel (x) (10.73)
E = p2CM + Erel
(10.74)
2M
Ovviamente tutta la dinamica è contenuta in ψErel (x) che è l’autofunzione dell’energia
per una particella di massa ridotta µ e soggetta al potenziale V (x). Il moto del
centro di massa sarà descritto da un’onda piana che può essere ignorata se lavoriamo
nel sistema del centro di massa.
Tutti i risultati sin qui trovati si generalizzano facilmente al caso di N particelle
in una dimensione. In particolare la tecnica degli spazi per N particelle ottenuti
come prodotto diretto di spazi di singola particella. La parte che corrisponde alla separabilità
dell’hamiltoniana va invece esaminata caso per caso. In particolare, come
abbiamo visto, se si hanno potenziali quadratici si può sempre ridurre il pronlema
a N oscillatori armonici disaccoppiati.
1 Lo stesso risultato si otterrebbe quantizzando nelle vecchie variabili e controllando che le
variabili del centro di massa e quelle relative soddisfano le relazioni di commutazione qui scritte
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