Meccanica Quantistica

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g(x-x') Δ 1 1/2 π Δ Figura 4.10: La famiglia di gaussiane che definisce come limite la delta di Dirac. Si ha da cui = I 2 (α) = ∞ 0 2π 0 +∞ −∞ e −αx2 +∞ dx −∞ 0 2 1/2 x Δ e −αy2 +∞ dy = −∞ ρdρdφe −αρ2 ∞ 1 = 2π 2 dρ2e −αρ2 ∞ = π I(α) = +∞ −∞ e −αx2 π dx = α Usando queste formula si verifica immediatamente che x' e −α(x2 + y 2 ) dxdy = 0 dye −αy = π α (4.401) (4.402) +∞ g∆(x − x −∞ ′ )dx ′ = 1 (4.403) Vediamo anche che per ∆ → 0, la funzione g∆(x − x ′ ) tende ad essere sempre più piccola nei punti x = x ′ . Pertanto in questo limite si ha lim ∆→0 g∆(x−x ′ ) = δ(x − x ′ ) (4.404) Altre rappresentazioni della delta9 sono (vedi Figura 4.11): 0, |x| > ǫ/2 fǫ(x) = 1/ǫ, |x| < ǫ/2 Le funzioni della successione hanno integrale pari ad 1 e quindi 9 Queste successioni di funzioni sono dette δ-convergenti. (4.405) lim fǫ(x) = δ(x) (4.406) ǫ→0 105
f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di successione δ-convergente. Chiaramente ha integrale 1 ed è nulla per x = 0 nel limite ǫ → 0. Un’altra successione δ-convergente è la seguente ε 1 1 ǫ δ(x) = lim ǫ→0 π x2 + ǫ2 x (4.407) Infatti, x = 0, 1 ǫ δ(x) = lim ǫ→0 π x2 = 0 + ǫ2 (4.408) mentre x = 0, 1 1 δ(0) = lim → ∞ ǫ→0 π ǫ (4.409) Inoltre, inserendo un fattore di convergenza nel semipiano superiore, ed usando il contorno mostrato in Figura 4.12 +∞ −∞ +∞ 1 2πi 1 ǫ π x2 + ǫ2eiǫx = ǫ +∞ dx 1 1 − e π −∞ 2iǫ x + iǫ x − iǫ iǫx = 1 1 dx − e x + iǫ x − iǫ iǫx = 1 2πi = 1 (4.410) 2πi −∞ La delta di Dirac è una funzione pari (useremo la parola funzione anche se, come abbiamo detto, la delta non è una funzione in senso stretto), infatti δ(x − x ′ ) = 〈x|x ′ 〉 = 〈x ′ |x〉 ∗ = δ(x ′ − x) ∗ = δ(x ′ − x) (4.411) 106
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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Consideriamo una particella confina
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In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
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Possiamo dividere l’asse delle x
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Come sappiamo dobbiamo imporre la c
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dove ρ è la densità di carica, p
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6.4 Un problema di diffusione: il g
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V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
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Pertanto le due soluzioni descrivon
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Assumiamo (sempre nel caso unidimen
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Ma a causa del principio di indeter
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mentre le osservabili diventano dip
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Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
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Una particella nell’intorno di x0
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da cui La soluzione generale è ˙p
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8.1 La soluzione dell’equazione d
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Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
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Ci sono alcuni punti importanti da
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Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
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A questo fine si introducono due op
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e scegliendo cn reale e Applicando
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con A determinata dalla normalizzaz
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Capitolo 9 Il principio di indeterm
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vale a dire che integrata dà dψ(x
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Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
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Vediamo dunque che per spazi vettor
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I coefficienti dell’espansione di
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Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
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10.3 Più particelle in più dimens
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sono identiche. D’altra parte, in
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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Questo implica che se a t = 0 il si
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Gli autovettori di Π con autovalor
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Inoltre se il sistema è invariante
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con analoga condizione di positivit
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da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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