Meccanica Quantistica

con R(ρ) arbitraria ma normalizzabile, dimostrare che le probabilità di trovare gli
autovalori di Lz corrispondenti a m = 0, 2, −2 sono:
P(0) = 2 1 1
, P(2) = , P(−2) =
3 6 6
(11.117)
Dato che il problema è fattorizzato nella parte radiale e nella parte angolare si può
considerare la sola parte angolare e decomporre la parte angolare sulla base degli
autovalori di Lz
ψ(θ) = cos 2 θ = 〈θ|ψ〉 =
〈θ|m〉〈m|ψ〉 =
Φm(θ)ψm (11.118)
con
Usando
ψm =
2π
0
m
Φ ∗ m(θ)ψ(θ)dθ =
2π
0
m
Φ ∗ m(θ) cos 2 θdθ (11.119)
cos θ = 1
2 (eiθ + e −iθ ) (11.120)
segue subito
ψ0 = 1√
2π,
2
ψ2 = 1√
2π,
4
ψ−2 = 1√
2π
4
(11.121)
Il vettore di stato originale decomposto nella base degli autostati di Lz è dunque
|ψ〉 ∝ √
1 1 1
2π |2〉 + |0〉 + | − 2〉
4 2 4
(11.122)
e normalizzando
|ψ〉 = 1
2 1
√ |2〉 + |0〉 + √ | − 2〉 (11.123)
6 3 6
da cui si ottengono le probabilità desiderate. È da notare che il tutto si ottiene
più semplicemente usando l’espressione di cosθ in termini di esponenziali complessi
nella funzione originale
1
ψ(ρ, θ) = R(ρ)
4 e+2iθ + 1 1
+
2 4 e−2iθ
(11.124)
Questa fornisce immediatamente la decomposizione desiderata.
11.5.2 Problemi invarianti per rotazioni
Consideriamo adesso una particella nel piano che interagisca con un potenziale che
dipenda solo dalla coordinata radiale
V (ρ) = V ( x 2 + y 2 ) (11.125)
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