Meccanica Quantistica

misurando, lo stato del sistema rimane inalterato. A titolo di esempio consideriamo
la misura dell’impulso di una particella effettuata tramite lo scattering Compton,
cioè lo scattering di un fotone da parte di una particella carica quale un elettrone.
Per semplicità assumiamo anche che l’elettrone si muova lungo l’asse delle x e che
gli si faccia collidere contro un fotone di energia h/ω che si muova lungo l’asse delle x
proveniente da sinistra (da dietro rispetto all’elettrone iniziale). Dopo lo scattering il
fotone rimbalzerà e si muoverà verso sinistra, sempre lungo l’asse delle x con energia
h/ω ′ . Le energie dei fotoni possono essere determinate tramite processi di emissione
e assorbimento atomici. Dalla conservazione dell’impulso e dell’energia si ha
Usando
ed analoga relazione tra E ′ e p ′ si trova
cp ′ = cp + h/(ω + ω ′ )
E ′ = E + h/(ω − ω ′ ) (5.41)
E 2 = m 2 c 4 + c 2 p 2
Eh/(ω − ω ′ ) = cph/(ω + ω ′ ) + 2h/ 2 ωω ′
Quadrando ambo i lati di questa equazione ed usando ancora la (5.42) si trova
(5.42)
(5.43)
−4h/ 2 c 2 p 2 ωω ′ − 4cph/ 3 ωω ′ (ω + ω ′ ) − 4h/ 4 ω 2 ω ′2 + m 2 c 4 h/ 2 (ω − ω ′ ) 2 = 0 (5.44)
e risolvendo per cp (prendendo la radice con il segno positivo) segue
cp = − h/
2 (ω + ω′
) + 1 + m2c4 h/ 2 ωω ′
h/
2 (ω − ω′ ) (5.45)
da cui
cp ′ = h/
2 (ω + ω′
) + 1 + m2c4 h/ 2 ωω ′
h/
2 (ω − ω′ ) (5.46)
Queste equazioni possono anche essere risolte per ω e ω ′ in funzione di p e p ′ . Si
vede allora che se ω → 0, cosi fa ω ′ . Questo si può capire osservando che l’unico
modo affinchè l’impulso trasferito p ′ − p sia nullo è che entrambe le frequenze vadano
a zero. Osserviamo che dalla misura delle frequenze è possibile ricostruire sia
l’impulso iniziale che quello finale. In genere però questa non è una misura ideale
dato che cambia l’autovalore dell’impulso. È però possibile renderla ideale nel limite
di impulso trasferito nullo.
In conclusione di questa analisi assumeremo che per ogni osservabile sia possibile
una misura ideale che lascia inalterati gli stati costituiti dagli autovettori dell’osservabile
stessa. Per esempio, per l’osservabile di posizione X, una misura ideale
di posizione sarà tale che se la particella si trova nello stato |x〉, la misura darà x
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