Meccanica Quantistica

g(x-x')
Δ
1
1/2 π Δ
Figura 4.10: La famiglia di gaussiane che definisce come limite la delta di Dirac.
Si ha
da cui
=
I 2 (α) =
∞
0
2π
0
+∞
−∞
e −αx2
+∞
dx
−∞
0
2 1/2
x
Δ
e −αy2
+∞
dy =
−∞
ρdρdφe −αρ2
∞
1
= 2π
2 dρ2e −αρ2
∞
= π
I(α) =
+∞
−∞
e −αx2
π
dx =
α
Usando queste formula si verifica immediatamente che
x'
e −α(x2 + y 2 ) dxdy =
0
dye −αy = π
α (4.401)
(4.402)
+∞
g∆(x − x
−∞
′ )dx ′ = 1 (4.403)
Vediamo anche che per ∆ → 0, la funzione g∆(x − x ′ ) tende ad essere sempre più
piccola nei punti x = x ′ . Pertanto in questo limite si ha
lim
∆→0 g∆(x−x ′ ) = δ(x − x ′ ) (4.404)
Altre rappresentazioni della delta9 sono (vedi Figura 4.11):
0, |x| > ǫ/2
fǫ(x) =
1/ǫ, |x| < ǫ/2
Le funzioni della successione hanno integrale pari ad 1 e quindi
9 Queste successioni di funzioni sono dette δ-convergenti.
(4.405)
lim fǫ(x) = δ(x) (4.406)
ǫ→0
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