Meccanica Quantistica

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mancano le condizioni di stato legato in entrambe le regioni asintotiche e pertanto E ≥ V± : 2N + 1 condizioni con 2N + 2 coefficienti (6.80) Corrispondentemente si hanno due soluzioni degeneri, nessuna quantizzazione dell’energia e stato non legato. La degenerazione corrisponde al fatto che la particella può andare all’infinito ad entrambi gli estremi. Un altro punto che merita una riflessione è il fatto che l’energia dello stato fondamentale (di energia più bassa), n = 1 per la particella nel box non è zero, ma E = h/ 2 π2 2mL2 (6.81) La ragione va ricercata nel principio di indeterminazione. Infatti, dato che la posizione e quindi ∆X sono limitati, ne segue che la particella non può avere impulso definito. In particolare, da segue H = P 2 2m (6.82) 〈H〉 = 1 2m 〈P 2 〉 (6.83) D’altra parte si ha 〈P 〉 = 0, sia dal calcolo diretto, sia osservando che essendo la particella confinata in una regione finita non può avere un impulso medio, altrimenti finirebbe per andare all’infinito. Pertanto Usando e 〈H〉 = 1 2m 〈(P − 〈P 〉)2 〉 = 1 2 ∆P 2m ∆X ≤ L 2 (6.84) (6.85) ∆P∆X ≥ h/ 2 (6.86) si trova 〈H〉 ≥ 1 h/ 2m 2 2 2 h/ 4 h/ ≥ = 4∆X2 8m L2 2mL2 (6.87) Vediamo che l’energia nello stato fondamentale è π2 volte il valore minimo sopra calcolato. 6.2.2 Il potenziale a delta di Dirac Consideriamo una particella in un potenziale dato da una funzione delta 2 : V (x) = −aV0δ(x) (6.88) 2 Poichè dalla condizione δ(x)dx = 1 vediamo che la delta ha le dimensioni dell’inverso di una lunghezza, nella definizione di questo potenziale occorre inserire una quantità a con le dimensioni di una lunghezza. 161
Come sappiamo dobbiamo imporre la condizione di continuità per la delta di Dirac nel punto x = 0. L’equazione di Schrödinger stazionaria è h/ 2 − 2m ψ′′ (x) + V (x)ψ(x) = Eψ(x), E < 0 (6.89) Qui abbiamo scelto E < 0 per porsi nelle condizioni di stato legato (vedi Figura 6.5). Nella regioni I e II il potenziale è nullo e si hanno dunque le soluzioni con regione I, ψ(x) = Ae kx regione II, ψ(x) = Be −kx k 2 = − 2mE h/ 2 xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx xxxxxxxxx V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx E I II Figura 6.5: Il potenziale a delta di Dirac. La condizione di continuità richiede e quindi x (6.90) (6.91) (6.92) A = B (6.93) ψI(x) = Ae kx , x ≤ 0 (6.94) ψII(x) = Ae −kx , x ≥ 0 (6.95) 162
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Meccanica Quantistica Prima Parte R
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4.14 Generalizzazione al caso infin
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Capitolo 1 Introduzione Queste disp
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nostre sensazioni viene arricchito
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2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
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iemettondone una quantità trascura
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un risultato paradossale. Infatti s
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Il valor medio dell’energia si ca
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da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
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fotoelettroni vengono emessi dalla
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Inoltre l’energia e l’impulso d
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Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
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una struttura uniforme ma deve esse
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come valore approssimato del raggio
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F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
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quindi l’energia cinetica è pari
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Figura 2.15: La relazione di De Bro
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Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
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dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
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misurare px corrisponde ad un angol
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L’impulso px avrà una indetermin
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E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
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L’energia associata ad un momento
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Capitolo 3 L’esperimento di inter
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Figura 3.3: Nella parte destra: cos
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Figura 3.6: Confronto tra le frange
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di vista di Feynamn sia il più usa
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Assiomi per la moltiplicazione con
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(0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
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Uno spazio vettoriale sul quale sia
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4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
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Vediamo dunque che Inoltre si ha an
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utilizzare il procedimento di Gram-
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Un esempio un pò più complesso è
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4.6 Elementi di matrice di un opera
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Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
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Questa decomposizione è analoga al
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4.8 Il problema agli autovalori Com
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D’altra parte, come mostreremo, n
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Prendendo l’equazione aggiunta si
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4.9.1 Il caso degenere Per capire c
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il ket corrispondente, avremo |ω =
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Se definiamo n vettori V (k) con co
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Notare che A non è né hermitiana
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da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
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Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
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da cui La condizione di normalizzaz
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a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
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Se adesso espandiamo il vettore |x(
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corrisponde a uno stato in cui le d
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Pertanto l’operatore e A risulta
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con C costante di integrazione. Evi
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Cioè questi vettori formano un sis
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Da questa segue Pertanto si dovrà
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f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
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g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
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10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
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Nel caso fermionico tutto procede a
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In questo caso la distribuzione mis
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Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
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L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
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dato che una traslazione di a + ǫ
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Questo implica che se a t = 0 il si
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ipetere lo stesso esperimento in un
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Gli autovettori di Π con autovalor
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si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
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Da cui Questa condizione è soddisf
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L’equazione di Schrödinger stazi
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11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
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Inoltre se il sistema è invariante
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con analoga condizione di positivit
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da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
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Da queste ultime si ricavano le esp
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da cui J k − e imφ f(θ) d k =
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che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
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Come vedremo in un momento il secon
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e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
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Ovviamente questo stesso problema i
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con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
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Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
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e quindi a = 2Z n La variabile adim
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I livelli energetici sono determina
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L’approssimazione WKB consiste ne
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problema di connettere le soluzioni
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Se si considera un moto periodico,
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Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
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Ponendo a zero i coefficienti di ug
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e ricordando che si ha X = h/ 2mω
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Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
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o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
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Capitolo 15 Momento angolare intrin
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Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
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Dunque l’azione dell’operatore
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e proiettando sulla base |x; j, m
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Consideriamo adesso il caso di un c
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In realtà l’espressione corretta
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separatamente. Dunque l’autovalor
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e applicare a entrambi i membri l
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15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
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15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
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