Meccanica Quantistica

Se richiediamo che questo vettore sia autovettore di A dovremo avere che il vettore
che si ottiene da A|ω = 0, 1〉 deve essere proporzionale a |ω = 0, 1〉 stesso tramite il
corrispondente autovalore λ. Si ottengono le seguenti due equazioni
con soluzioni
e quindi
e
Infine
1 + α = λ, 2 = λα (4.296)
λ = 2, α = 1; λ = −1, α = −2 (4.297)
|ω = 0, λ = 2〉 = 1 ⎛ ⎞
1
√ ⎝ 1 ⎠
3
−1
(4.298)
|ω = 0, λ = −1〉 = 1
⎛ ⎞
1
√ ⎝−2⎠
6
−1
(4.299)
|ω = 2, λ = 3〉 = 1
⎛ ⎞
1
√ ⎝0⎠
(4.300)
2
1
Ovviamente questi vettori sono tutti ortogonali tra loro. Confrontando con i risultati
precedenti vediamo che si ottengono gli stessi risultati eccetto per una fase (il segno)
diversa nella definizione di |ω = 0, λ = −1〉 rispetto alla eq. (4.268). D’altra
parte come abbiamo già detto la fase di un vettore non è fissata dalla condizione di
normalizzazione. Inoltre mostreremo che la fisica non dipende dalla scelta di queste
fasi.
4.11 Un’applicazione alla meccanica classica
Vogliamo applicare adesso i metodi di diagonalizzazione al problema meccanico di
due molle accoppiate. Formuleremo però il problema in un modo che risulterà
utile in meccanica quantistica. Il sistema delle due molle è rappresentato in Figura
4.7. I due cubi di massa m sono attaccati a delle molle con posizioni di equilibrio
rispettivamente a e b. Le molle hanno tutte costante elastica pari a k. Le equazioni
del moto risultano
o
m d2
dt 2 (a + x1) = −2kx1 + kx2
m d2
dt 2 (b − x2) = 2kx2 − kx1
¨x1 = −2 k
m x1 + k
m x2
¨x2 = k
m x1 − 2 k
m x2
91
(4.301)
(4.302)