Meccanica Quantistica

si ha 2
Pertanto
Pertanto
da cui
∂
∂ρ =
1
x
x2 + y2 ∂
∂
+ y ,
∂x ∂y
∂
∂θ =
x ∂
∂
− y
∂y ∂x
(11.86)
〈ρ, θ|Lz|ψ〉 = −ih/ ∂
ψ(ρ, θ) (11.87)
∂θ
U(R(φ)) = e −iφLz
h/ = e −φ ∂
∂θ (11.88)
∂
−φ
U(R(φ))ψ(ρ, θ) = e ∂θ ψ(ρ, θ) = ψ(ρ, θ − φ) (11.89)
Si vede anche facilmente (dato che Lz commuta con se stesso) che
U(R(φ1))U(R(φ2)) = U(R(φ1 + φ2)) (11.90)
Dal punto di vista passivo avremmo dovuto richiedere, per trasformazioni infinitesime
U † (R)XU(R) = X − ǫY, U † (R)Y U(R) = ǫX + Y (11.91)
e analoghe per gli impulsi. Dall’espressione di U((ǫ)) segue
o
segue
i ǫ
h/ [Lz, X] = −ǫY, i ǫ
h/ [Lz, Y ] = ǫX (11.92)
[X, Lz] = −ih/Y, [Y, Lz] = +ih/X (11.93)
Se l’hamiltoniana è invariante per rotazioni
U † (R)H(X, Y ; Px, Py)U(R) = H(X, Y ; Px, Py) (11.94)
[Lz, H] = 0 (11.95)
e quindi
d
dt 〈Lz〉 = 0 (11.96)
Dunque ogni esperimento e il suo ruotato daranno identici risultati se il sistema è
invariante per rotazioni nel piano.
Abbiamo visto che (X, Y ) e (Px, Py) si trasformano come vettori nel piano
rispetto alla trasformazione unitaria U(R) Ogni operatore della forma
V = Vx i + Vy j (11.97)
2 Per ricavare le seguenti formule si fa uso della nota regola catena. Per esempio: ∂/∂ρ =
∂x/∂ρ · ∂/∂x + ∂y/∂ρ · ∂/∂y
232