Meccanica Quantistica

e
P(xL) =
dxT |ψ(xL, xT)| 2 = |ψL(xL)| 2
dxT |ψT(xT)| 2 = |ψL(xL)| 2
(10.130)
Nel caso in cui le due particelle siano bosoni (ma lo stesso argomento vale anche
per due fermioni) la funzione d’onda corretta si ottiene simmetrizzando le funzioni
d’onda di particella singola
e si avrà
ψS(xT, xL) = 1 √ 2 [ψT(xT)ψL(xL) + ψL(xT)ψT(xL)] (10.131)
P(xT) = 2 |ψS(xT, xL)| 2 dxL =
= |ψT(xT)| 2
dxL|ψL(xL)| 2 +
+ |ψL(xT)| 2
dxL|ψT(xL)| 2 +
+ ψ ∗ T (xT)ψL(xT)
dxLψ ∗ L (xL)ψT(xL) +
+ ψ ∗
L(xT)ψT(xT) dxLψ ∗ T(xL)ψL(xL) (10.132)
Ma ψL(xT) risulta trascurabile dato che la ψL ha un picco sulla luna e quindi il
risultato è come nel caso di particelle distinguibili
P(xL) ≈ |ψT(xT)| 2
(10.133)
Osserviamo che tutto questo ha senso se la particella sulla luna e quella sulla
terra rimangono ben separate per tutti i valori di interesse del tempo, altrimenti
l’argomento cade non appena le funzioni d’onda hanno un overlapping apprezzabile.
Per esempio se considerassimo due bosoni che a t = 0 sono centrati uno in x = a
e l’altro in x = b, potremmo distinguerli all’istante iniziale, ma in questo caso si
avrebbe uno sparpagliamento delle funzioni d’onda in un tempo piccolissimo e quindi
non potremmo più distinguere le due particelle. Un’altra osservazione è che quando
si parla di sovrapposizione di funzioni d’onda ci stiamo sempre riferendo a uno spazio
particolare. Nell’esempio precedente le due funzioni non hanno sovrapposizione
nello spazio delle configurazioni, ma l’hanno nello spazio degli impulsi, e quindi in
questo spazio non possiamo ignorare la simmetrizzazione. Se invece consideriamo
due particelle con pacchetti centrati uno a un impulso piccolo e l’altro a impulso
grande si può ignorare la simmetrizzazione nello spazio degli impulsi ma non in
quello delle coordinate.
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