Meccanica Quantistica

dove si sono usate le regole di commutazione e 〈0|a † = 0. Consideriamo anche
e
Dato che
segue
e
〈n|X 2 |n〉 =
=
h/
2mω 〈n|(a + a† ) 2 |n〉 = h/
2mω 〈n|(aa† + a † a)|n〉 =
h/
h/ En
〈n|(2N + 1)|n〉 = (2n + 1) =
2mω 2mω mω2 〈n|P 2 |n〉 = − mh/ω
2 〈n|(a − a† ) 2 |n〉 = mh/ω
2 〈n|(aa† + a † a)|n〉 =
= mh/ω
2
mh/ω
〈n|(2N + 1)|n〉 = (2n + 1) = mEn (8.129)
2
(8.128)
〈n|X|n〉 = 〈n|P |n〉 = 0 (8.130)
∆X 2 = 〈n|(X − 〈n|X|n〉) 2 |n〉 = En
mω 2, ∆P 2 = 〈n|(P − 〈n|P |n〉) 2 |n〉 = mEn
(8.131)
∆X∆P = En
ω = h/(n + 1/2) (8.132)
in accordo con il principio di indeterminazione
∆X∆P ≥ h/
2
(8.133)
L’uso della base dei numeri di occupazione non ci permette solo di determinare
facilmente autovalori dell’energia ed elementi di matrice degli operatori rilevanti,
ma anche di calcolare la funzione d’onda. Consideriamo dunque
Questa funzione si calcola partendo da
0 = 〈x|a|0〉 =
mω
2h/ 〈x|
X + i
mω P
ψn(x) = 〈x|n〉 (8.134)
|0〉 =
mω
2h/
x + h/
d
ψ0(x) (8.135)
mω dx
Pertanto la funzione d’onda dello stato fondamentale soddisfa l’equazione differenziale
del primo ordine
d mω
+
dx h/ x
ψ0(x) = 0 (8.136)
Questa equazione si integra immediatamente con il risultato
−
ψ0(x) = Ae
mω
2h/ x2
195
(8.137)