Meccanica Quantistica

Un insieme di n vettori non nulli si dice linearmente indipendente se non ci
sono soluzioni scalari all’equazione
n
αivi = 0 (4.9)
i=1
eccetto per la soluzione banale αi = 0. Il contenuto di questa definizione è che se
n vettori sono indipendenti non si puo’ scrivere uno di questi vettori come combinazione
lineare degli altri. Infatti, se questo fosse il caso, si potrebbe scrivere, per
esempio
n−1
vn =
(4.10)
i=1
con βi = 0. Ma questa relazione significherebbe d’altro canto che gli n vettori sono
linearmente dipendenti.
Si dice che uno spazio vettoriale è n-dimensionale, se ammette al più n
vettori linearmente indipendenti. Denoteremo uno spazio vettoriale n-dimensionale
su F con il simbolo V n (F). Su tale spazio vale il seguente:
Teorema: Dati n vettori linearmente indipendenti (v1,v2, · · · ,vn), ogni altro vettore
v ∈ V n (F) può essere scritto come combinazione lineare degli n vettori.
βivi
Il teorema è vero se possiamo trovare una relazione del tipo
αv +
n
i=1
α ′ i vi = 0 (4.11)
con alcuni degli αi non nulli. Ma se questo non fosse vero esisterebbero n+1 vettori
linearmente indipendenti contrariamente all’ipotesi di essere in V n (F). Quindi almeno
un coefficiente tra α e gli αi è non nullo. ma α non può essere nullo, altrimenti
gli n vettori non sarebbero linearmente indipendenti. Quindi α = 0 e:
v = − 1
α
n
i=1
α ′ i vi =
n
i=1
αivi
(4.12)
Inoltre i coefficienti αi sono unici. Infatti, se esistesse un’altro modo di rappresentare
v in termini dei vi con diversi coefficienti βi avremmo
da cui
v =
n
αivi =
i=1
n
i=1
βivi
(4.13)
n
(αi − βi)vi = 0 (4.14)
i=1
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