Meccanica Quantistica

More documents

Recommendations

Info

f(x) 0 L Figura 4.8: La funzione f(x) definita sull’intervallo [0, L]. f(x) 0 L x x x x x x 1 2 3 N-1 N Figura 4.9: Il campionamento della funzione f(x) data in Figura 4.8. Identificheremo i vettori base come ket denotati con xi, le coordinate del punto in cui campioniamo la f(x), e avremo ⎛ ⎞ 0 ⎜ ⎜· ⎟ |xi〉 ⇔ ⎜ ⎜1 ⎟ (4.373) ⎝· ⎠ 0 I vettori base corrispondono ad una funzione che vale 1 in xi e zero negli altri punti. Chiaramente si hanno le relazioni 〈xi|xj〉 = δij, 101 x N |xi〉〈xi| = I (4.374) i=1
Cioè questi vettori formano un sistema di vettori ortonormali. Immaginiamo adesso uno spazio N dimensionale con ogni direzione individuata da un vettore unitario |xi〉. Allora il vettore fN, che rappresenta la campionatura di f(x), sarà quel vettore che ha per componente f(xi) lungo l’asse |xi〉 |fN〉 = N f(xi)|xi〉 (4.375) i=1 Occorre naturalmente dimostrare che stiamo effettivamente costruendo uno spazio vettoriale. Infatti possiamo definire una struttura lineare sulle funzioni definite nell’intervallo [0, L], introducendo una somma di funzioni e la moltiplicazione per uno scalare. Consideriamo allora le funzioni definite nell’intervallo [0, L] tali che f(0) = f(L) = 0. Si definiscono l’addizione ed il prodotto per uno scalare come segue: (f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf(x) (4.376) Si verifica immediatamente che tutte le proprietà che definiscono uno spazio vettoriale sono soddisfatte. Inoltre, dato che le definizione sopra date valgono punto per punto, è chiaro che anche le funzioni campionate soddisfano le condizioni di spazio vettoriale. In particolare ⎛ ⎞ (f + g)(x1) ⎜ · ⎟ |(f + g)N〉 = |fN〉 + |gN〉 ⇔ ⎜ · ⎟ ⎝ · ⎠ (f + g)(xN) = ⎛ ⎞ f(x1) ⎜ · ⎟ ⎜ · ⎟ ⎝ · ⎠ f(xN) + ⎛ ⎞ g(x1) ⎜ · ⎟ ⎜ · ⎟ ⎝ · ⎠ g(xN) (4.377) e ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ (αf)(x1) f(x1) ⎜ · ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ · ⎟ |(αf)N〉 = α|fN〉 ⇔ ⎜ · ⎟ = α ⎜ · ⎟ ⎝ · ⎠ ⎝ · ⎠ (αf)(xN) f(xN) Possiamo anche definire un prodotto interno come 〈fN|gN〉 = In particolare |fN〉 e |gN〉 sono detti vettori ortogonali se (4.378) N f(xi) ∗ g(xi) (4.379) i=1 〈fN|gN〉 = 0 (4.380) Vogliamo adesso vedere cosa succede quando mandiamo N all’infinito, in modo che il nostro campionamento riproduca esattamente la funzione originale. Il ket corrispondente |fN〉 → |f∞〉 ≡ |f〉 (4.381) 102
Page 1 and 2:
Meccanica Quantistica Prima Parte R
Page 3 and 4:
4.14 Generalizzazione al caso infin
Page 5 and 6:
Capitolo 1 Introduzione Queste disp
Page 7 and 8:
nostre sensazioni viene arricchito
Page 9 and 10:
2.1 Il corpo nero Lo studio dell’
Page 11 and 12:
iemettondone una quantità trascura
Page 13 and 14:
un risultato paradossale. Infatti s
Page 15 and 16:
Il valor medio dell’energia si ca
Page 17 and 18:
da cui per T → 0 2 hν cV ≈ 3N
Page 19 and 20:
fotoelettroni vengono emessi dalla
Page 21 and 22:
Inoltre l’energia e l’impulso d
Page 23 and 24:
Figura 2.9: Il dispositivo sperimen
Page 25 and 26:
una struttura uniforme ma deve esse
Page 27 and 28:
come valore approssimato del raggio
Page 29 and 30:
F G P A Figura 2.13: Il dispositivo
Page 31 and 32:
quindi l’energia cinetica è pari
Page 33 and 34:
Figura 2.15: La relazione di De Bro
Page 35 and 36:
Il 17 Gennaio 1926 Schrödinger pub
Page 37 and 38:
dV fosse data da dP = |ψ(x)| 2 dV
Page 39 and 40:
misurare px corrisponde ad un angol
Page 41 and 42:
L’impulso px avrà una indetermin
Page 43 and 44:
E y xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxxx
Page 45 and 46:
L’energia associata ad un momento
Page 47 and 48:
Capitolo 3 L’esperimento di inter
Page 49 and 50:
Figura 3.3: Nella parte destra: cos
Page 51 and 52:
Figura 3.6: Confronto tra le frange
Page 53 and 54: di vista di Feynamn sia il più usa
Page 55 and 56: Assiomi per la moltiplicazione con
Page 57 and 58: (0,1,1) y z (1,1,0) (1,0,1) Figura
Page 59 and 60: Uno spazio vettoriale sul quale sia
Page 61 and 62: 4.3 La notazione di Dirac Dirac ha
Page 63 and 64: Vediamo dunque che Inoltre si ha an
Page 65 and 66: utilizzare il procedimento di Gram-
Page 67 and 68: Un esempio un pò più complesso è
Page 69 and 70: 4.6 Elementi di matrice di un opera
Page 71 and 72: Vediamo che n Pi = I (4.109) i=1 In
Page 73 and 74: Questa decomposizione è analoga al
Page 75 and 76: 4.8 Il problema agli autovalori Com
Page 77 and 78: D’altra parte, come mostreremo, n
Page 79 and 80: Prendendo l’equazione aggiunta si
Page 81 and 82: 4.9.1 Il caso degenere Per capire c
Page 83 and 84: il ket corrispondente, avremo |ω =
Page 85 and 86: Se definiamo n vettori V (k) con co
Page 87 and 88: Notare che A non è né hermitiana
Page 89 and 90: da cui B|ai, α〉 ∈ V mi ai (4.2
Page 91 and 92: Da cui che ha soluzione 3v1 + v2 +
Page 93 and 94: da cui La condizione di normalizzaz
Page 95 and 96: a b x x 1 2 Figura 4.7: Il sistema
Page 97 and 98: Se adesso espandiamo il vettore |x(
Page 99 and 100: corrisponde a uno stato in cui le d
Page 101 and 102: Pertanto l’operatore e A risulta
Page 103: con C costante di integrazione. Evi
Page 107 and 108: Da questa segue Pertanto si dovrà
Page 109 and 110: f ε(x) ε Figura 4.11: Esempio di
Page 111 and 112: g(x-x') ' Δ x _ Δ 2 1/2 x x Figur
Page 113 and 114: Nello spazio infinito-dimensionale
Page 115 and 116: segue 〈x|K|x ′ 〉〈x ′ |k
Page 117 and 118: Pertanto 〈k|X|g〉 = i dg(k) (4.4
Page 119 and 120: Si ha |B| 2 L 2 L = |B| 2π 2 L =
Page 121 and 122: Pertanto se A è diagonalizzabile a
Page 123 and 124: misura il sistema viene proiettato
Page 125 and 126: v) - Se vogliamo informazioni relat
Page 127 and 128: In questo caso adotteremo la prescr
Page 129 and 130: misurando, lo stato del sistema rim
Page 131 and 132: 5.3 Come si verifica la teoria quan
Page 133 and 134: Esercizio: Dati i seguenti operator
Page 135 and 136: e inoltre P(Lx = 0) = |〈Lx = 0|ψ
Page 137 and 138: 5.5 Variabili compatibili e incompa
Page 139 and 140: spazio con Λ avente un autovalore
Page 141 and 142: e quindi ψ( x) a Figura 5.1: La fu
Page 143 and 144: Pertanto ψ(p) = 〈p|ψ〉 = 〈
Page 145 and 146: Pi|ψ〉 ⇔ 〈x1, · · · , xn|P
Page 147 and 148: Nel caso di una particella di caric
Page 149 and 150: soddisfa l’equazione di Schrödin
Page 151 and 152: In questo caso si ha base |p〉 bas
Page 153 and 154: e inoltre p = ± √ 2mE (6.7) Abbi
Page 155 and 156:
Osserviamo anche che nella base del
Page 157 and 158:
Se calcoliamo la densità di probab
Page 159 and 160:
Consideriamo una particella confina
Page 161 and 162:
In ogni caso 2 h/ n En = 2m 2π2 L2
Page 163 and 164:
Possiamo dividere l’asse delle x
Page 165 and 166:
Come sappiamo dobbiamo imporre la c
Page 167 and 168:
dove ρ è la densità di carica, p
Page 169 and 170:
6.4 Un problema di diffusione: il g
Page 171 and 172:
V V(x) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx xx
Page 173 and 174:
Pertanto le due soluzioni descrivon
Page 175 and 176:
Assumiamo (sempre nel caso unidimen
Page 177 and 178:
Ma a causa del principio di indeter
Page 179 and 180:
mentre le osservabili diventano dip
Page 181 and 182:
Pertanto nella base |˜x〉 gli ope
Page 183 and 184:
Una particella nell’intorno di x0
Page 185 and 186:
da cui La soluzione generale è ˙p
Page 187 and 188:
8.1 La soluzione dell’equazione d
Page 189 and 190:
Notiamo che con da cui bk+2 bk = e
Page 191 and 192:
Ci sono alcuni punti importanti da
Page 193 and 194:
Richiedendo che +x0 P(x)dx = 1 (8.
Page 195 and 196:
A questo fine si introducono due op
Page 197 and 198:
e scegliendo cn reale e Applicando
Page 199 and 200:
con A determinata dalla normalizzaz
Page 201 and 202:
Capitolo 9 Il principio di indeterm
Page 203 and 204:
vale a dire che integrata dà dψ(x
Page 205 and 206:
Capitolo 10 Sistemi con N gradi di
Page 207 and 208:
Vediamo dunque che per spazi vettor
Page 209 and 210:
I coefficienti dell’espansione di
Page 211 and 212:
Dividendo per ψE1(x1)ψE2(x2) si h
Page 213 and 214:
10.3 Più particelle in più dimens
Page 215 and 216:
sono identiche. D’altra parte, in
Page 217 and 218:
10.5 Spazi di Hilbert per bosoni e
Page 219 and 220:
Nel caso fermionico tutto procede a
Page 221 and 222:
In questo caso la distribuzione mis
Page 223 and 224:
Capitolo 11 Simmetrie Nel caso clas
Page 225 and 226:
L’azione di T(ǫ) su uno stato qu
Page 227 and 228:
dato che una traslazione di a + ǫ
Page 229 and 230:
Questo implica che se a t = 0 il si
Page 231 and 232:
ipetere lo stesso esperimento in un
Page 233 and 234:
Gli autovettori di Π con autovalor
Page 235 and 236:
si ha 2 Pertanto Pertanto da cui
Page 237 and 238:
Da cui Questa condizione è soddisf
Page 239 and 240:
L’equazione di Schrödinger stazi
Page 241 and 242:
11.6 Rotazioni in tre dimensioni Pr
Page 243 and 244:
Inoltre se il sistema è invariante
Page 245 and 246:
con analoga condizione di positivit
Page 247 and 248:
da cui |〈j, m ′ |J+|j, m〉| 2
Page 249 and 250:
Da queste ultime si ricavano le esp
Page 251 and 252:
da cui J k − e imφ f(θ) d k =
Page 253 and 254:
che ha la proprietà [r, Pr] = ih/
Page 255 and 256:
Come vedremo in un momento il secon
Page 257 and 258:
e il suo aggiunto d † d ℓ + 1
Page 259 and 260:
Ovviamente questo stesso problema i
Page 261 and 262:
con ET = ECM + E (12.8) Mentre la p
Page 263 and 264:
Da u ′ ℓ = ρu ′′ ℓ = ∞
Page 265 and 266:
e quindi a = 2Z n La variabile adim
Page 267 and 268:
I livelli energetici sono determina
Page 269 and 270:
L’approssimazione WKB consiste ne
Page 271 and 272:
problema di connettere le soluzioni
Page 273 and 274:
Se si considera un moto periodico,
Page 275 and 276:
Capitolo 14 Teoria delle perturbazi
Page 277 and 278:
Ponendo a zero i coefficienti di ug
Page 279 and 280:
e ricordando che si ha X = h/ 2mω
Page 281 and 282:
Pertanto Esf + E 1 = − Z2 e 2 a0
Page 283 and 284:
o β 0 〈n , α|H1|n 0 , β〉
Page 285 and 286:
Capitolo 15 Momento angolare intrin
Page 287 and 288:
Chiaramente si ha e σ 2 = 4 J 2 =
Page 289 and 290:
Dunque l’azione dell’operatore
Page 291 and 292:
e proiettando sulla base |x; j, m
Page 293 and 294:
Consideriamo adesso il caso di un c
Page 295 and 296:
In realtà l’espressione corretta
Page 297 and 298:
separatamente. Dunque l’autovalor
Page 299 and 300:
e applicare a entrambi i membri l
Page 301 and 302:
15.3 Operatori tensoriali Abbiamo g
Page 303 and 304:
15.3.1 Il teorema di Wigner-Eckart
show all

Meccanica Quantistica

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?