Meccanica Quantistica

4.6 Elementi di matrice di un operatore lineare
Abbiamo visto che un vettore in una data base corrisponde ad una ennupla di numeri,
le sue componenti in quella base. Analogamente, in una data base, un operatore
lineare è rappresentato da una matrice di n × n numeri, i suoi elementi di matrice.
Ovviamente i valori degli elementi di matrice dipendono dalla base scelta, ma il loro
uso risulta estremamente conveniente. Abbiamo già osservato che un operatore è
completamente assegnato una volta che ne sia stata definita l’azione sugli elementi
di una base. In particolare si possono facilmente calcolare le componenti del ket
trasformato sotto l’azione dell’operatore. Se
segue
Posto
segue
|v ′ 〉 = A|v〉 (4.92)
v ′ i = 〈i|v′ 〉 = 〈i|A|v〉 = 〈i|A
vj|j〉 =
〈i|A|j〉vj
j
j
(4.93)
Aij = 〈i|A|j〉 (4.94)
v ′ i
=
j
Aijvj
(4.95)
Quindi l’azione dell’operatore si può valutare agendo con i suoi elementi di matrice
sulle componenti del vettore iniziale. Nella data base il vettore iniziale è rappresentato
da un vettore colonna e l’azione dell’operatore è semplicemente il prodotto
della matrice che lo rappresenta per il vettore colonna con la consueta definizione di
prodotto righe per colonne.
Esempio 1: Consideriamo ancora l’operatore di rotazione
π
R ≡ Rx
2
Ricordando che
segue
(4.96)
R|1〉 = |1〉, R|2〉 = |3〉, R|3〉 = −|2〉 (4.97)
⎛
〈1|R|1〉 〈1|R|2〉
⎞
〈1|R|3〉
⎛
1 0
⎞
0
R ⇔ ⎝〈2|R|1〉
〈2|R|2〉 〈2|R|3〉 ⎠ = ⎝0
0 −1⎠
(4.98)
〈3|R|1〉 〈3|R|2〉 〈3|R|3〉 0 1 0
Esempio 2: Consideriamo l’operatore T, rappresentato dalla matrice:
⎛ ⎞
0 0 1
T ⇔ ⎝1
0 0⎠
(4.99)
0 1 0
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