Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

106 KAPITEL 3. MEHRSTOFFSYSTEMEBeweis des anschaulichen Sachverhaltes Die Phase S bekommt bei x S die EnthalpieG S (x S ) und analog bekommt α bei x α die freie Enthalpie G α (x α ). Die freie Enthalpie G(x)der zweiphasigen Zustände wird dann durch die gemeinsame Tangente dargestellt.SRückblende: Entropie beim Mischen:∆S = −k B [x 1 ln(x 1 ) + x 2 ln(x 2 )]= −k B [x ln x + (1 − x) ln(1 − x)](3.37)∆ GAxBDie freie Enthalpie des idealen Gemisches ist:G(x) = [ ]µ 0 1 x 1 + µ 0 2 x 2 n= [ µ 0 1 x + µ 0 2 (1 − x) ] n (3.38)(3.39)AxB⇒G = G − T ∆S (3.40)G(x) = [ µ 1 0 x 1 + µ 2 0 x 2]n + kB T [x ln x + (1 − x) ln(1 − x)]= x [ µ 1 0 n + k B T ln x ] + (1 − x) [ µ 2 0 n + k B T ln(1 − x) ] (3.41)Dies ist die sogenannte Kettenlinie, ihre Steigung lautet:∂G(x)∂x= µ 1 0 − µ 2 0 + k B T lnx1 − x = µ 1 − µ 2 . (3.42)Die Tangente kann also in beiden Fällen sowohl anhand der Steigung δG α (x)/δx der KurveG α (x) an der Stelle x α als auch anhand der Steigung δG S (x)/δx der Kurve G S (x) an derStelle x S formuliert werden, nämlich:sowieG(x) = G α (x α ) + [µ 1 (x α ) − µ 2 (x α )] (x − x α )n (3.43)G(x) = G S (x S ) + [ µ 1 (x S ) − µ 2 (x S ) ] (x − x S )n. (3.44)Mit G = [µ 1 x + µ 2 (1 − x)]n folgt für Gleichung 3.43:G(x) = [µ 1 (x α ) + µ 2 (x α )(1 − x α ) + [µ 1 (x α )x − µ 1 (x α )x α − µ 2 (x α )x + µ 2 (x α )x α ]](3.45)n= µ 1 (x α )x + µ 2 (x α ) − µ 2 (x α )x= µ 1 (x α )x + µ 2 (x α )(1 − x) (3.46)In gleicher Weise folgt aus Gleichung 3.44:G(x) = µ 1 (x S )x + µ 2 (x S )(1 − x). (3.47)Werden die Gleichungen 3.46 und 3.47 gleichgesetzt, so gilt für x = 1 ⇒ µ 1 (x α ) = µ 1 (x S )und für x = 0 µ 2 (x α ) = µ 2 (x S ). Dies bedeutet, daß die chemischen Potentiale in beidenPhasen eben bei den durch die gemeinsame Tangente bestimmten Zusammensetzungen x αund x S gleich sind, wodurch das Gleichgewicht nachgewiesen ist.