Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

4.4. THERMISCHE EIGENSCHAFTEN 231Damit ergibt sich für die Näherungsformel des Bindungspotentials in der Nähe des Potentialminimums()U(x) = U 0 1 + nmx2 nm(n + m + 3)x3− (4.130)2r02 6r03Für die Amplitude eines Atoms, das in diesem Potential schwingt, betrachtet man den Wertder Funktion bei der Energie U 0 + (3/2)k B T . Man hat also eine implizite Gleichung für die(jeweils halbe) Amplitude x( nmx2(3/2)k B T = –2r 2 0)nm(n + m + 3)x36r03(4.131)Glchg. 4.131 ist eine Gleichung dritten Grades für die Extremwerte von x für eine gegebenethermische Energie; diese Gleichung kann im Prinzip gelöst werden.y=ax 2 -bx 3yAusgehend von den beiden relevanteny=ax 2 x-Werten – als eine kleine Korrektur derWerte ±x(T ) – die sich aus einem parabelförmigesPotential ergeben würden (die-x+ξ x+ξdann natürlich keine thermische Ausdehnung-x xenthalten) folgt:( ) nmx2(3/2)k B T =2r 2 0y=-bx 3Die Lösungen der quadratischen Gleichungkann man sofort angeben; für die Amplitudenach links und rechts giltxx 1,2 = ±( ) 3kB T r02 1/2 ( ) 1/2 3kB T== ±xnmU ′′ 0 .Ansatz zur Lösung der kubischen Geichung:Amplitude nach links = −x 0 + ξ, Am-Abbildung 4.42: Potentialplitude nach rechts = +x 0 + ξ. Was das genau bedeutet, ist aus Abb. 4.42 zu entnehmen.Einsetzen in die Gleichung dritten Grades und Ausmultiplizieren gibt eine Bestimmungsgleichungdritten Grades für ξ; und ξ ist natürlich genau die Abweichung von der Gleichgewichtsposition:ξ = r–r 0 = ɛ therm r 0Damit ist das Problem innerhalb der mathematischen Näherung mittels einer Taylor-Entwicklung exakt gelöst. Um nun die Gleichung dritten Grades zu lösen, kann man jetztberücksichtigen, dass die thermische Ausdehnung generell ein kleiner Effekt ist, und dasheißt, dass sowohl ξ klein ist gegenüber x 0 , als auch das |U ′′′ | klein ist gegenüber |U ′′ |.Man vernachlässigt also die mindest quadratisch kleinen“ Terme, also alle ξ 2 , ξ 3 und”alle Produkte zwischen ξ und U ′′′ . Damit folgt(3/2)k B T = (1/2)U 0 ′′ (x 0 + ξ) 2 + (1/6)U 0 ′′′ (x 0 + ξ) 3 = (1/2)U 0′′(x20 + x 0 ξ ) ( )+ (1/6)U 0′′′ x30