Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

230 KAPITEL 4. MAKROSKOPISCHE EIGENSCHAFTENWenn man die Amplitude der Schwingung und die beiden Extremalpositionen berechnenwill (Abb. 4.41), muss folgende Gleichung gelöst werden:U = (3/2)k B T = − A + B . (4.128)rex n rexmDabei wird ein typisches asymmetrisches Bindungspotential U Bindg = –(A/r n ) + (B/r m ) angenommen,wobei m und n Parameter für das entsprechende Potential sind. Dieses Potentialsorgt für einen bestimmten Gleichgewichtsabstand r 0 der einzelnen Atome und damit auchfür eine bestimmte Dichte. Das negative Vorzeichen definiert die Anziehung zwischen denTeilchen und das positive für Abstoßung. Für r → ∞ wird U → 0. U(r 0 ) = E 0 ist dann dieGitterenergie. Für den Gleichgewichtsabstand verschwindet auch die Kraft U ′ .Die Energie an einer der markierten Extremalpositionen r ex ist gleich der mittleren thermischenEnergie (1/2) k B T pro Freiheitsgrad; also (3/2)k B T für die drei Freiheitsgrade derSchwingungen in den drei Koordinatenrichtungen. Für m, n > 4 gibt es keine analytischeLösung der Gleichung. In einer Näherungslösung vereinfacht man Glchg. 4.128 mit Hilfeeiner Potenzreihenentwicklung (Taylor Reihe) um das Minimum, d.h. für r = r 0 und erhält:U = U 0 + (1/2)U ′′0 x 2 + (1/6)U ′′′0 x 3 + . . . , (4.129)mit U ′′0 = d 2 U/ dr 2 . . . zweite Ableitung nach r. Sie ist ein Maß für den Elastizitätsmodul.U ′′′0 . . . ist die dritte Ableitung nach r.Die Reihenentwicklung verschiebt den Nullpunkt auf das Potentialminimum, oder, inanderen Worten, wir haben x = r–r 0 . Die erste Ableitung ist im Potentialminimum Null.Höhere Ableitungen als die dritte vernachlässigt man. Die dritte Ableitung ist aber essentiell:Sie enthält die Asymmetrie des Potentials, die ja erst für die thermische Ausdehnung sorgt.Die erste Ableitung ergibtDie zweite AbleitungdUdr = U ′ = nAr –(n+1) –mBr –(m+1)U ′′ = A(−n − 1)nr −n−2 − B(−m − 1)mr −m−2Sucht man U ′′ im Potentialminimum, d.h., r = r 0 und berücksichtigt, dass U ′ (r 0 ) = 0, sofolgtU ′′ (r 0 ) = U 0nmr 2 0Die dritte Ableitung ist demgemäßU ′′′ = A(−n − 2)(−n − 1)nr −n−3 − B(−m − 2)(−m − 1)mr −m−3Oder, wieder für r = r 0 ,U ′′′ (r 0 ) = –U 0nm(n + m + 3)r 3 0