Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

1.1. TRANSLATIONSGITTER, SYMMETRIEN 11• Flüssigkristalle, die sich in einem Zwischenzustand befinden zwischen dem geordnetenZustand eines kristallinen Festkörpers und dem einer isotropen Flüssigkeit mit statistischvariierenden Orten individueller Atome bzw. Moleküle. Je nach Temperaturoder äußerem angelegten Feld lassen sich Flüssigkristalle mit eindimensionaler Periodizitätrealisieren oder auch eine Anordnung, bei der die Moleküle in einer Ebeneeine Fernordnung zeigen, die aber für verschiedene Ebenen ganz verschieden sein kann.Translationsgitter Wir wollen zuerst die einkristallinen Festkörper behandeln. Am einfachstenzu beschreiben sind atomare Kristalle, bei denen an jedem Punkt des Raumgittersgenau ein Atom sitzt. Wir wählen den Ort eines dieser Atome als Nullpunkt unseres Koordinatensystemsund nennen die Ortsvektoren a 1 , a 2 , a 3 zu den drei Nachbaratomen die Basisvektorendes Gitters. Bei einem rechtwinkligen Gitter zeigen sie in x-, y- und z-Richtung.Wir werden jedoch weiter unten sehen, dass nicht alle Gitter rechtwinklig sind.Der Ortsvektor zu einem beliebigen Gitterpunkt (Translationsvektor)T = u · a 1 + v · a 2 + w · a 3 (1.1)lässt sich dann immer als Linearkombination der Basisvektoren darstellen (u,v,w ganzzahlig).Das Parallelepiped, das sich aus den drei Basisvektoren a, b, c aufbaut, heißt Elementarzelledes Kristalls. Da sich das gesamte Kristallgitter durch Translationen der Elementarzelleaufbauen lässt, nennt man ein solches Gitter auch Translationsgitter.Symmetrie Bedeutet, dass sich Eigenschaften eines Systems unter bestimmten Operationennicht ändern. Für den kristallinen Aufbau, soweit wir ihn bereits kennen, herrschtoffensichtlich Translationssymmetrie.• Translationsymmetrie heißt: Ein Kristall ändert sich nicht, wenn alle Atome um bestimmteWerte x 0 , y 0 , z 0 verschoben werden. In anderen Worten, es ist egal wo wirden Ursprung eines Koordinatensystems hinlegen, solange er an einem Symmetriepunktsitzt.• Ein Kristall ändert sich möglicherweise auch nicht, wenn man ihn um bestimmte Winkeldreht, an bestimmten Ebenen spiegelt oder relativ zu einem gegebenen Punkt invertiert(d.h. alle Vektoren r vom Aufpunkt aus zu einem Atom durch −r ersetzt).• Wir erwarten damit noch weitere Symmetrien: Rotationssymmetrie, Spiegelsymmetrie,Inversionssymmetrie.• Eine Symmetrieachse C n heißt n-zählig, wenn der Kristall bei der Drehung um denWinkel ϕ = 2π/n wieder in sich übergeht. In Kristallen treten Symmetrieachsen C nmit n = 2, 3, 4 oder 6 auf. So gibt es bei einem kubischen Kristall drei Symmetrieebenenparallel zu den Seitenflächen (Abb. 1.4a) und sechs Ebenen durch die Flächendiagonale(Abb. 1.4b). Es gibt drei vierzählige Symmetrieachsen C 4 (Abb. 1.4c), vier dreizähligeAchsen C 3 (Abb. 1.4d) und vier zweizählige Achsen C 2 (Abb. 1.4e). Es gibt jedochfür ein Translationsgitter keine Symmetrieachsen mit n = 5 und n ≥ 7. Man kann