Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

196 KAPITEL 4. MAKROSKOPISCHE EIGENSCHAFTENbeziehungsweiseσ = E · ɛ p , (4.43)welche nichts anderes ist als das auf die Fläche normierte Gesetz für die Rückstellkraft einerlinearen Feder, F = C · x (Federkonstante C, Auslenkung x). Gleichung 4.43 wird als dassogenannte Hook’sche Gesetz bezeichnet und sagt aus, dass ein linearer Zusammenhang zwischenSpannung und Verformung besteht. Das Hook’sche Gesetz ist jedoch nicht das einzigeElastizitätsgesetz. Für spezielle Materialien kann der Zusammenhang zwischen Spannungund reversibler Verformung auch nichtlinear sein. Das Material ist dann immer noch elastisch,da es bei Wegfallen der eingeleiteten Kräfte seine ursprüngliche Form annimmt, folgtjedoch einem nichtlinearen Elastizitätsgesetz, wie es durch Gleichung 4.41 gegeben ist.Für Materialien, welche sich gemäß dem Hook’schen Gesetz verhalten, kann der Elastitzitätsmodul,ähnlich wie die Gitterschwingungsfrequenz in Abschnitt 3.5, aus dem Oszillatorpotentialeines im Festkörper gebundenen Atomes abgeschätzt werden. Nimmt manwiederum an, dass das Atom eine Bindungsenergie von E B = 12 eV im Festkörperverbandaufweist, so ergibt sich unter der Annahme, dass diese Bindungsenergie beim Auslenkendes Atoms um einen Gitterabstand (3 Å = 3 · 10 −10 m) aufgebracht werden muss, für dieFederkonstante“ C einer einzelnen Bindung”C =2E B 2 · 1.992 · 10−18= = 10.67 N/m. (4.44)(x − x 0 )2(3 · 10 −10 ) 2Nun soll der Festkörper eine Dehnung von ɛ p = 1% erfahren. Dazu muss jeder Atomabstandum ∆L p = 3 · 10 −12 m vergrössert werden. Die dazu nötige Kraft beträgt für eineBindungF = C · ∆L p = 3.2 · 10 −11 N. (4.45)Zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls muss noch die Fläche ermittelt werden, auf die sichdiese Kraft verteilt, um die Spannung σ zu berechnen. Beträgt der Bindungsabstand derAtome 3 Å, so beträgt die von einem Atom eingenommene Fläche A = 9 Å 2 = 9 · 10 −20 m 2 .Die Spannung σ ergibt sich damit zuund der Elastizitätsmodul E ergibt sich zuσ = F A = 3.5 · 108 Pa (4.46)E = σ ɛ=3.5 · 1080.01= 3.5 · 10 10 Pa, (4.47)was in vernünftiger Übereinstimmung mit beobachteten E-Modulen liegt.Verwendet man anstatt des obigen Oszillatorpotentiales ein realistischeres Bindungspotentialvom Lennard Jones-Typ,U(r) = − A r n + B r m (4.48)