Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

4.4. THERMISCHE EIGENSCHAFTEN 215erlaubte Werte von k. Das Volumen der Probe ist V = L 3 . Die diskreten Werte der erlaubtenk Vektoren ist keine Konsequenz der Quantenmechanik, sondern folgt ”klassisch“ aus denRandbedingungen des Problems (z.B., Würfel mit beschränkter Seitenlänge).Mit diesen Überlegungen kann nun die Gesamtzahl der Schwingungen, sowie die Zustandsdichteberechnet werden. Alle möglichen Schwingungszustände (Moden) finden alsoim reziproken Raum innerhalb einer Kugel Platz.4π3 q3 = 4π 3ω 3v 3 s( ) 3 2π= N ⇒ N = V ω3L 6π 2 vs3g(ω) = dNdω = V ω22π 2 v 3 s(4.97)(4.98)Ein alternativer Weg führt zum gleichen Ergebnis (vgl. Abb. 4.32):Das Volumen einer Kugelschicht mit Radius q und Dicke dq ist V ∗ = 4πq 2 dq (man erhält diesesErgebnis, indem man Terme der Ordnung dq 2 und dq 3 vernachlässigt). Die Anzahl der Moden (=Zustände) innerhalb dieses Volumens folgt aus [4π(ω 2 /v 3 s) dω][V/(8π 3 )]. Da 8π 3 /V das Volumenpro q Vektor ist, ist V/(8π 3 ) deren Dichte. Es gilt somitg(ω) =V ω 22π 2 vs3 dωDebye nahm an, dass Gitterschwingungen eine obere Grenzfrequenz ω D besitzen und dassdarüber keine weiteren Moden angeregt werden können, d.h.,• g(ω) = 0 ∀ ω > ω DDamit wird nun die innere Energie∫ ωDU = 3 dω V ω20 2π 2 vs3= 3V 2π 2 v 3 s∫ ωDMit x = ω/k B T und x D = ω D /k B T = Θ D /T folgt0()ωexp ω − 1 =k B T()ω 3exp ω − 1 dω (4.99)k B T( ) 3 ∫ TxDx 3U = 9Nk B TdxΘ D exp(x) − 1 . (4.100)Für hohe oder tiefe Temperaturen kann das Debye Integral in eine Reihe entwickeltwerden und man erhält0• für T ≫ Θ D :U = 3Nk B T (4.101)