Yb Pt Si - Type Yb Pt Si - Type

140 KAPITEL 3. MEHRSTOFFSYSTEMEQuadrate in Gleichung 3.59 mit ∆x i = ∆y i = ∆z i = ±a〈l2 〉 =〈Nx∑i=1∆x 2 i〉+〈 Ny∑i=1∆y 2 i〉+〈Nz= (N x + N y + N z ) · a 2 = N · a 2 .∑i=1∆z 2 i〉= (3.60)Die gemischten Glieder verschwinden bei der Mittelwertbildung, da bei einer unkorreliertenBewegung genauso viele Schritte in positive wie in negative Richtungen durchgeführt werden.Näherungsweise gilt für ein großes Ensemble von l die Beziehung 〈l 2 〉 ∼ = 〈l〉 2 und mangelangt schließlich zu folgender Abhängigkeit des effektiv zurückgelegten Weges 〈l〉 von derAnzahl der Diffusionssprünge, N:〈l〉 = √ N · a. (3.61)Die Beziehung 〈l 2 〉 = N · a 2 kann auch folgendermaßen interpretiert werden: In Gleichung3.57 wurde die Sprungfrequenz eines Atoms, d. h. die Anzahl der Diffusionssprünge proSekunde gegeben. Es gilt〈l2 〉 in1s = ν 0 · a 2 · e − E Ak B ·T. (3.62)Für unser aus Gleichung 3.57 abgeleitetes Rechenbeispiel (E A = 1 eV = 1.602 · 10 19 J,k B = 1.38 · 10 −23 J/K, ν 0 = 10 13 Hz, a = 3 · 10 −10 m) bedeutet Gleichung 3.61, dass einTeilchen bei Raumtemperatur de facto ortsfest bleibt, während es bei 1000 K in einer Sekundeeine Strecke von ca. 3µm zurücklegt, wie man durch Einsetzen der gegebenen Zahlenwertein Gleichungen 3.61 und 3.62 leicht verifizieren kann.Gleichung 3.62 ist weiters die Definition des Diffusionskoeffizienten D für ein einzelnesTeilchen.D = ν 0 · a 2 · e − E Ak B ·T[m 2 · s −1 ]. (3.63)Für die Berechnung der Strecke, welche das Teilchen in einer Zeit τ zurücklegt, gilt beiKombination der Gleichungen 3.60, 3.61, 3.62 und 3.63 die sogenannte Einstein-Beziehung,l = √ D · τ. (3.64)Der Diffusionskoeffizient ist jene zentrale Größe, welche die Beziehung zwischen makroskopischenDiffusionsmodellen und mikroskopischen Diffusionsmechanismen herstellt, wie imnächsten Abschnitt gezeigt werden soll.3.5.3 Diffusion in kontinuierlichen SystemenDie makroskopische Diffusionstheorie, deren Grundgleichung die Diffusionsgleichung ist, beschreibtden Ausgleich von Konzentrationsgradienten in vollständig mischbaren Materialkombinationen.Sie kann auch auch auf Systeme angewendet werden, in denen die einzelnenKomponenten chemische Verbindungen bilden, allerdings sind dann die aus dem Phasendiagrammdes Mischsystemes folgenden energetischen Gegebenheiten zu beachten. Im Falledes im vorhergehenden Abschnitt besprochenen Prozesses des Materialtransportes durch den